[論文レビュー] Sigma-convergence for thin heterogeneous domains and application to the upscaling of Darcy-Lapwood-Brinkmann flow

Willi Jäger, Jean Louis Woukeng|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2023

Advanced Mathematical Modeling in EngineeringComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期的・ほぼ周期的・決定論的微構造を含む一般の微構造を持つ薄い不均質領域へsigma収束法を拡張し、Darcy-Lapwood-Brinkmann流れのスケーリングを可能にする。平均値を伴う代数を用いてコンパクト性の結果を証明し、有効な2次元モデルを導出する：低透水率領域ではDarcyの法則、高透水率領域ではHele-Shaw型の挙動が得られる。

ABSTRACT

The sigma-convergence concept has been up to now used to derive macroscopic models in full space dimensions. In this work, we generalize it to thin heterogeneous domains given rise to phenomena in lower space dimensions. More precisely, we provide a new approach of the sigma-convergence method that is suitable for the study of phenomena occurring in thin heterogeneous media. This is made through a systematic study of the sigma-convergence method for thin heterogeneous domains. Assuming that the thin heterogeneous layer is made of microstructures that are distributed inside in a deterministic way including as special cases the periodic and the almost periodic distributions, we make use of the concept of algebras with mean value to state and prove the main compactness results. As an illustration, we upscale a Darcy-Lapwood-Brinkmann micro-model for thin flow. We prove that, according to the magnitude of the permeability of the porous domain, we obtain as effective models, the Darcy law in lower dimensions. The effective models are derived through the solvability of either the local Stokes-Brinkmann problems or the local Hele-Shaw problems.

研究の動機と目的

• 非周期的微構造を有する薄い不均質領域におけるsigma収束の厳密な数学的枠組みの構築。
• 微構造が周期的ではなく決定論的に分布する薄い領域におけるコンパクト性の課題に対処する。
• 平均値を伴う代数を用いて、薄い層における次元を低くした有効モデルへの均質化技術の一般化。
• 薄い多孔質層におけるDarcy-Lapwood-Brinkmann系のスケーリングへのフレームワークの適用。
• 透水率のスケーリングに応じた有効モデルの導出：DarcyとHele-Shawの領域を区別する。

提案手法

• 薄い領域 $G_\varepsilon = G_1 \times \varepsilon G_2$ を対象とし、$G_1 \subset \mathbb{R}^{d_1}$, $G_2 \subset \mathbb{R}^{d_2}$, $\varepsilon \to 0$ に対して、新しいsigma収束フレームワークを導入する。
• 周期的・ほぼ周期的・漸近的周期的分布を含む一般の微構造を記述するため、$\mathbb{R}^{d_1}$ 上の平均値を伴う代数 $\mathcal{A}$ を用いる。
• 一般化されたBesicovitch空間 $\mathcal{B}_{\mathcal{A}}^{p}(\mathbb{R}^{d_1}; L^p(G_2))$ と平均値作用素 $M$ を用いてコンパクト性を確立する。
• Darcy-Lapwood-Brinkmann系を $\Omega^\varepsilon = \Omega \times (-\varepsilon, \varepsilon)$ に適用し、$\Omega \subset \mathbb{R}^{d-1}$ とする。
• 変分形式における極限に至るため、弱い $\Sigma_{\mathcal{A}}$-収束を用い、有効方程式を同定する。
• 横方向（$y$-方向）における局所セル問題を解き、有効係数を導出し、DarcyとHele-Shawの領域を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的微構造を有する薄い不均質領域へのsigma収束の一般化はどのように可能か？
• RQ2 微構造が平均値を伴う代数で記述される薄い領域において、どのようなコンパクト性の結果が成り立つか？
• RQ3 透水率が $O(\varepsilon^2)$ のスケーリングとなる場合、薄い層におけるDarcy-Lapwood-Brinkmann系の有効マクロスケールモデルは何か？
• RQ4 透水率が $\varepsilon^2$ より速くスケーリングされる場合、支配的となる粘性流または圧力駆動流に伴い、どのような有効モデルが得られるか？
• RQ5 一般の平均値を伴う代数フレームワークにおいて、局所セル問題は常に解けるか、それとも追加の構造的仮定が必要か？

主な発見

• 新たなコンパクト性結果を証明した：$L^p(G_\varepsilon)$ 内の列 $u_\varepsilon$ について、$\varepsilon^{-d_2/p}\|u_\varepsilon\|_{L^p(G_\varepsilon)} \leq C$ が一様に成り立つとき、部分列が存在して $\varepsilon^{-d_2}\int_{G_\varepsilon} u_\varepsilon f(x/\varepsilon) dx \to \int_{G_0} \int_{G_2} M(u_0(\cdot, \cdot, \zeta) f(\cdot, \cdot, \zeta)) d\zeta d\overline{x}$ が成り立つ。
• 透水率 $K_\varepsilon = O(\varepsilon^2)$ かつ $K_\varepsilon / \varepsilon^2 \to K \in (0, \infty)$ のとき、スケーリングされた速度 $\mathbf{u}_\varepsilon / \varepsilon^2$ は弱い $\Sigma_{\mathcal{A}}$-収束で $\mathbf{u}_0$ に収束し、極限領域 $\Sigma = \Omega \times \{0\}$ における有効モデルはDarcyの法則となる。
• 透水率 $K_\varepsilon >> \varepsilon^2$ の領域では、有効圧力 $p_0$ は横方向変数 $\zeta$ に依存せず、極限系は $\overline{x}$-平面におけるHele-Shaw型問題に簡略化される。
• 有効速度 $\mathbf{u}^\prime$ は横方向への $\mathbf{u}_0$ の平均化により得られ、極限において $u_d = 0$ となる。
• 局所問題 $-\mathrm{div}_y(A\nabla_y \mathbf{w}_j) + \overline{\nabla}_y \pi_j = e_j$ in $\mathbb{R}^{d-1} \times I$ は、一般の平均値を伴う代数では常に解けるとは限らないが、$\mathcal{A} = \mathcal{C}_{\text{per}}(Y')$ または $\mathcal{C}_{\text{per}}(Y') + \mathcal{C}_0(\mathbb{R}^{d-1})$ の場合には解ける。
• 有効圧力 $p_0$ は $\nabla_{\overline{x}} p_0 = \int_{-1}^1 M(\boldsymbol{f}_1 - A\nabla_y \mathbf{u}_1) d\zeta$ を満たし、マクロスケール圧力とミクロスケール流れを結びつける。