[論文レビュー] Simplicial localization of homotopy algebras over a prop

Sinan Yalin|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、cofibrantなdgプロップの間の弱同値が、それらの代数の圏の単体的局所化におけるDwyer-Kan同値を誘導することを確立し、ホモトピー代数のホモトピー論がcofibrantな分解の選択に依存しないことを証明する。結果は単体的局所化と完全セガール空間を用いて証明され、組合せ的モノイダルdgカテゴリにおける色付きプロップの代数へとホモトピー不変性を拡張する。

ABSTRACT

We prove that a weak equivalence between two cofibrant (colored) props in chain complexes induces a Dwyer-Kan equivalence between the simplicial localizations of the associated categories of algebras. This homotopy invariance under base change implies that the homotopy category of homotopy algebras over a prop P does not depend on the choice of a cofibrant resolution of P, and gives thus a coherence to the notion of algebra up to homotopy in this setting. The result is established more generally for algebras in combinatorial monoidal dg categories.

研究の動機と目的

• 弱同値による基底変換の下で、プロップ上のホモトピー代数のホモトピー論のホモトピー不変性を確立すること。
• 基礎となるプロップのcofibrant分解の選択に依存するかどうかという、ホモトピー代数のホモトピー圏の整合性問題を解決すること。
• 既存のオペラッドおよびプロップに関する結果を、組合せ的モノイダルdgカテゴリにおける色付きdgプロップのより広範な設定へと拡張すること。
• 単体的局所化技術を用いて、ホモトピー代数の基底変換不変性問題に対して明確な答えを提供すること。
• 自由代数ファンクターの存在を仮定する必要があった以前の結果を、任意の体上のチェーン複体を含む設定へ一般化すること。

提案手法

• 相対的カテゴリの単体的局所化を用いて、プロップの代数のホモトピー論を符号化する単体的圏を構成する。
• 完全セガール空間の枠組みを用いて、単体的局所化の分類図を比較する。
• 図式圏における外部テンソル積およびインジェクティブモデル構造を用いて、基本圏からのホモトピー的性質の持ち上げを行う。
• Yalin (2017) の定理3.14に依拠し、代数の圏における準同型のナーヴ空間の弱同値を確立する。
• 図式圏におけるインジェクティブモデル構造におけるモデル構造の推移性およびプッシュアウト積公理を適用し、モノイダル性を検証する。
• 高次圏論とホモトピカル代数の技術を統合し、代数の圏にモデル構造が存在しない場合でもDwyer-Kan同値を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロップ上のホモトピー代数のホモトピー圏は、そのプロップのcofibrant分解の選択に依存するか？
• RQ2 cofibrantなdgプロップの代数の圏の単体的局所化は、基礎となるプロップの弱同値に関して不変にできるか？
• RQ3 自由代数ファンクターの存在を仮定しないで、プロップ上のホモトピー代数の基底変換におけるホモトピー不変性は達成可能か？
• RQ4 任意の体上のチェーン複体における色付きプロップ上のホモトピー代数のホモトピー論は、分解の選択に依存しないことを示せるか？
• RQ5 代数の圏にモデル構造が存在しない状況で、単体的局所化と完全セガール空間の技術がどのように作用し、不変性を確立するか？

主な発見

• cofibrantなdgプロップ間の弱同値は、それらの代数の圏の単体的局所化におけるDwyer-Kan同値を誘導する。
• プロップ上のホモトピー代数のホモトピー圏は、cofibrant分解の選択に依存せず、ホモトピー的意味での代数の概念の整合性を確立する。
• 結果は、任意の体上のチェーン複体を含む、組合せ的モノイダルdgカテゴリにおける代数に対しても成り立つ。
• 代数の圏におけるモデル構造に依存しないという点で、従来の手法の主要な制限を回避する。
• 1色付きおよび色付きプロップの両方の設定に適用可能であり、色付きの場合には一般性を保つために特徴が0でなければならない。
• 補題3.17は、特徴が0の体上の色付きdgプロップにおけるホモトピー代数のホモトピー論が、cofibrant分解の弱同値による基底変換に関して不変であることを確認する。