[論文レビュー] Simplicial spaces, lax algebras and the 2-Segal condition

Mark D Penney|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ファイニットな単体的集合の∞-圏における標準的1単体Δ[1]が、双スペーンの(∞,2)-圏におけるラックス代数構造を備えていることを確立し、単体的対象における2-セガール条件が、このラックス代数の結合律に同値であることを示している。その結果、任意の2-セガール対象の1単体はラックス代数構造を誘導し、2-セガール条件によりこの構造が真の代数的対象へとなることが保証される。

ABSTRACT

Dyckerhoff--Kapranov and Gálvez-Carrillo--Kock--Tonks independently introduced the notion of a $2$-Segal space, that is, a simplicial space satisfying $2$-dimensional analogues of the Segal conditions, as a unifying framework for understanding the numerous Hall algebra-like constructions appearing in algebraic geometry, representation theory and combinatorics. In particular, they showed that every $2$-Segal object defines an algebra object in the $\infty$-category of spans. In this paper we show that this algebra structure is inherited from the initial simplicial object $Δ[\bullet]$. Namely, we show that the standard $1$-simplex $Δ[1]$ carries a lax algebra structure. As a formal consequence the space of $1$-simplices of a simplicial space is also a lax algebra. We further show that the $2$-Segal conditions are equivalent to the associativity of this lax algebra.

研究の動機と目的

• 2-セガール空間が符号する代数的構造の圏論的起源を、双スペーンの(∞,2)-圏におけるラックス代数として明らかにすること。
• 有限極限を備えた∞-圏における初期単体的対象Δ[•]が、その1単体にラックス代数構造を誘導することを示すこと。
• 2-セガール条件が、このラックス代数構造の結合律に同値であることを確立すること。
• 任意の有限極限を備えた∞-圏において有効な、モデルに依存しない一般化されたスパンに伴う代数的対象の構成法を提供すること。
• 今後の研究において2-セガール空間を用いた高次の圏的バイ代数の構成の基盤を築くこと。

提案手法

• 対称モノイド的(∞,2)-圏におけるラックス代数を、アンストレート化構成を介した対称モノイド的ラックス関手を用いて定義する。
• (Fin_Δ)^opにおける双スペーンの(∞,2)-圏を構成し、それが半厳密的であり、ラックス代数構造を符号化するのに適していることを示す。
• 標準的1単体Δ[1]に、∞-圏における双スペーン内での積μを備えさせ、非可逆な結合子2-射を伴うラックス代数を構成する。
• 右カルタン拡張を用いて、有限極限を備えた∞-圏内の任意の単体的対象X_•に対して、Δ[1]におけるラックス代数構造を上に持ち上げる。
• 単体的集合における余極限の議論を用いて、X_•における2-セガール条件が、X_1における誘導ラックス代数の結合律に同値であることを証明する。
• 脊骨の辺に沿った繰り返し余極限を用いて、自然な準同型α(p₂)∐α(X₁)α(p₁) → α(p₂p₁)がX_•の下で同値に送られることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-セガール対象に付随するスパンの∞-圏における代数的構造は、どのように圏論的に生じるのか？
• RQ2 初期単体的対象Δ[•]は、2-セガール空間の代数的構造を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 2-セガール条件は、ラックス代数構造における整合性条件として特徴付けられるか？
• RQ4 2-セガール対象の1単体におけるラックス代数構造は、有限極限を備えたすべての∞-圏において一意的かつファンクター的に定義可能か？
• RQ5 アンストレート化構成は、(∞,2)-圏的文脈におけるラックス関手およびラックス代数の定義をどのように支援するか？

主な発見

• 標準的1単体Δ[1]は、(Fin_Δ)^opにおける双スペーンの(∞,2)-圏において、自然なラックス代数構造を備えている。
• 単体的対象X_•における2-セガール条件は、X_1におけるラックス代数構造の結合律に同値である。
• X_1におけるラックス代数構造は、関手X: (Fin_Δ)^op → Cに沿った右カルタン拡張によってΔ[1]から自然に誘導される。
• 本構成法は、2-セガール対象からスパンの∞-圏における代数的対象を生成する普遍的かつモデルに依存しないメカニズムを提供する。
• 証明は、自然な準同型α(p₂)∐α(X₁)α(p₁) → α(p₂p₁)がX_•の下で同値に送られることを、脊骨の辺に沿った繰り返し余極限を用いて示すことに依存する。
• 本結果は、Dyckerhoff–KapranovおよびGálvez-Carrillo–Kock–Tonksの先行研究を一般化し、有限極限を備えた∞-圏の最大限の一般性において有効である。