[論文レビュー] Simulating quantum circuit expectation values by Clifford perturbation theory

Tomislav Begušić, Kasra Hejazi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、近似的にクリフォード量子回路における期待値を効率的に近似するための摂動的手法を導入している。クリフォードに基づくハイゼンベルク図示法を用いた時間発展演算子の展開により、非クリフォード回転角のべき級数に従って観測量の時間発展演算を展開し、級数を切り捨てることで、計算コストを低く抑えながら高い精度を達成する。この手法は、サンプリングに基づく手法と比較して、1000倍以上も高速であり、ノイズのあるクリフォード回路のスケーラブルなシミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

The classical simulation of quantum circuits is of central importance for benchmarking near-term quantum devices. The fact that gates belonging to the Clifford group can be simulated efficiently on classical computers has motivated a range of methods that scale exponentially only in the number of non-Clifford gates. Here, we consider the expectation value problem for circuits composed of Clifford gates and non-Clifford Pauli rotations, and introduce a heuristic perturbative approach based on the truncation of the exponentially growing sum of Pauli terms in the Heisenberg picture. Numerical results are shown on a Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) benchmark for the E3LIN2 problem and we also demonstrate how this method can be used to quantify coherent and incoherent errors of local observables in Clifford circuits. Our results indicate that this systematically improvable perturbative method offers a viable alternative to exact methods for approximating expectation values of large near-Clifford circuits.

研究の動機と目的

• 非クリフォードゲートの数に応じて計算コストが効率的に増加する、系統的に改善可能な古典的シミュレーション手法を、量子回路期待値の近似に開発すること。
• 正確なシミュレーションが困難であるため、QAOA や VQE などの変分量子アルゴリズムにおける期待値の高速かつ高精度な近似を可能にすること。
• 非クリフォードゲートの数に応じて、計算コストを最小限に抑えながら、コherentおよびincoherentな誤りをモデル化できるようにこの手法を拡張すること。
• 大規模な近クリフォード回路に対して、正確なシミュレーションやサンプリングに基づく手法の実用的代替手段を提供すること。

提案手法

• この手法はハイゼンベルク図示法を用い、パウリ観測量をクリフォード回路と非クリフォードパウリ回転の連鎖を通じて時間発展させ、パウリ項の増加を摂動展開で追跡する。
• 時間発展演算を非クリフォード角 θ の多項式としてモデル化し、各項は特定のパウリ項の増殖の次数に対応し、係数には sin(θ)/2 の累乗が含まれる。
• N 個のゲートを経た後に次数 k のパウリ項の数は M^(k) = 2^(-k) * C(N,k) で与えられ、最悪ケースでは平均的に (3/2)^N のスケーリングを示す。
• 摂動級数を有限の次数 K で切り捨てることで、計算コストを制御しつつ、相対誤差境界 δ を用いて精度を維持する。
• ビット反転、位相反転、振幅減衰などの誤りチャネルは、誤り確率 λ や s の累乗として重み付けされた摂動補正として取り入れられる。
• 符号反転とスケーリング係数を用いることで、ハイゼンベルク図示法においてパウリチャネルを効率的にシミュレートでき、観測量の時間発展演算を超える追加項は不要である。

Figure 1: (a) QAOA cost function ( 11 ) for the E3LIN2 problem with $n=50$ qubits and $D=4$ . Only positive values of $\gamma$ are shown because of the symmetry relation $C(-\gamma)=-C(\gamma)$ . (b) Histogram over 100 runs of the maximum order $K$ with a nonzero contribution to the cost function (

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非クリフォードゲートの角度に関する摂動展開は、量子回路期待値に対して系統的に改善可能で、計算コストも低い近似を提供できるか？
• RQ2 摂動級数の切り捨て次数 K が、非クリフォードゲートの数が異なる回路において、精度と計算コストにどのように影響するか？
• RQ3 特に変分量子アルゴリズムにおいて、この手法は、速度と精度の面で、サンプリングに基づく手法を凌駆できるか？
• RQ4 この手法は、計算コストを著しく増加させることなく、クリフォード回路におけるcoherentおよびincoherentな誤りをどの程度までモデル化できるか？

主な発見

• 低次の摂動展開でさえ、20個までの非クリフォードゲートを含む回路に対して、信頼性の高い期待値を提供する。
• E3LIN2問題に対するQAOAベンチマークにおいて、この摂動的手法は、サンプリングに基づく手法よりも最大1000倍速く期待値を計算した。
• 相対誤差 δ は、∑_{k=K+1}^N |sin(θ)/2|^k * C(N,k) の尾部に有界であり、与えられた δ に対して必要な切り捨て次数 K を解析的に推定できる。
• θ = 0.2 rad かつ δ = 0.01 の場合、N が増加しても必要な摂動次数 K はゆっくりと増加するため、実用的回路においても良好なスケーリングが得られる。
• 誤り確率を小さなパrameterとみなして摂動展開に組み込むことで、ビット反転、位相反転、振幅減衰などの非coherent誤りを最小限のコストでシミュレートできる。
• 位相減衰およびパウリチャネルは、ハイゼンベルク図示法における構造のおかげで、観測量の時間発展演算を超える追加コストなしにシミュレート可能である。

Figure 2: $\langle Z_{1}Z_{26}\rangle$ evaluated for a Clifford circuit defined by Eqs. ( 12 )–( 14 ) with $n=50$ qubits, $p=4$ , and a coherent error defined by $\delta\theta$ (see text). (a) Expectation value as a function of $\delta\theta$ for several perturbation orders $K$ ; (b, c) error in the