[論文レビュー] Simulating Quantum Circuits with Sparse Output Distributions

Martin Schwarz, Maarten Van den Nest|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Machine Learning and Algorithms参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、出力分布がおおよそスパースである量子回路—つまり、有意な確率を持つ測定結果が多項式個しかない—が、古典的に効率的にシミュレート可能であることを示している。著者らは、スパースフーリエ変換技術（特に Kushilevitz-Mansour）と計算的に扱いやすい状態の古典的シミュレーション手法を組み合わせることで、フーリエサンプリングや IQP 回路を含むこのような回路が、多項式時間で古典的にシミュレート可能であることを示している。これは、過剰な振幅のキャンセレーション（破壊的干渉）が指数的量子高速化を妨げるということを示している。

ABSTRACT

We show that several quantum circuit families can be simulated efficiently classically if it is promised that their output distribution is approximately sparse i.e. the distribution is close to one where only a polynomially small, a priori unknown subset of the measurement probabilities are nonzero. Classical simulations are thereby obtained for quantum circuits which---without the additional sparsity promise---are considered hard to simulate. Our results apply in particular to a family of Fourier sampling circuits (which have structural similarities to Shor's factoring algorithm) but also to several other circuit families, such as IQP circuits. Our results provide examples of quantum circuits that cannot achieve exponential speed-ups due to the presence of too much destructive interference i.e. too many cancelations of amplitudes. The crux of our classical simulation is an efficient algorithm for approximating the significant Fourier coefficients of a class of states called computationally tractable states. The latter result may have applications beyond the scope of this work. In the proof we employ and extend sparse approximation techniques, in particular the Kushilevitz-Mansour algorithm, in combination with probabilistic simulation methods for quantum circuits.

研究の動機と目的

• 構造的にシミュレーションが困難な可能性のある量子回路が、どのような条件下で古典的にシミュレート可能になるかを特定すること。
• 出力分布がスパースである—つまり、有意な確率を持つ結果が多項式個しかない—という特徴が、効率的な古典的シミュレーションを可能にするかどうかを調査すること。
• 干渉と振幅キャンセレーションが指数的量子高速化を妨げる役割を果たすメカニズムを明確にすること。
• 特に Kushilevitz-Mansour アルゴリズムを含むスパース近似技術を、量子状態シミュレーションに応用すること。
• QFT-Toffoli-QFT⁻¹ 構造を持つ量子回路（例えば Shor のアルゴリズムに現れるもの）のための古典的シミュレーションフレームワークを提供すること。

提案手法

• 量子状態における顕著なフーリエ係数の効率的近似に、Kushilevitz-Mansour アルゴリズムを活用する。
• 計算的に取り扱いやすい（CT）状態のための確率的古典的シミュレーション手法を適用して、出力確率を推定する。
• スパースフーリエ変換（SFT）手法を用いて、出力分布における多項式個の顕著な測定結果を特定する。
• 誤差が有界な確率的シミュレーション手法を用いて、高い確率を持つ計算基底状態の振幅を推定する。
• 顕著な振幅の位相推定と確率質量再構成を組み合わせることで、真の量子出力状態に近い古典的近似を構築する。
• 既存のスパース近似フレームワークを、構造的な QFT と可逆ゲートを有する量子回路に対応させるように拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 出力分布がおおよそスパースである量子回路—つまり、O(poly(n)) 個の結果しか確率が Ω(1/poly(n)) に達しない—は、古典的に効率的にシミュレート可能か？
• RQ2 破壊的干渉（すなわち、振幅のキャンセレーション）は、量子高速化の制限要因として果たす役割は何か？
• RQ3 QFT-Toffoli-QFT⁻¹ 構造を持つ回路において、出力分布のスパarsity が量子優位性をどの程度低減させるか？
• RQ4 スパースフーリエ変換技術は、構造的なユニタリ進化を持つ量子回路のシミュレーションに適応可能か？
• RQ5 少数の支配的測定結果が存在するという条件が、古典的シミュレータビリティをどの程度保証するか？

主な発見

• 出力分布がおおよそスパースである量子回路—つまり、O(poly(n)) 個の測定結果しか確率が Ω(1/poly(n)) に達しない—は、多項式時間で古典的にシミュレート可能である。
• 古典的シミュレーションの実行時間は、poly(n, 1/ε, log(1/δ)) である。ここで ε は近似誤差を制御し、δ は失敗確率を表す。
• この手法は、真の出力状態と古典的シミュレーションとのトレース距離において、O(√ε) の近似誤差を達成する。
• Shor のアルゴリズムは、スパース性の約束を満たさない。なぜなら、その出力分布は超多項式的に平坦であるため、古典的シミュレーションに抵抗する。
• これらの結果は、指数的量子高速化が、単に少数の支配的結果を持つのではなく、超多項式的に大きなサポートを有する出力分布を必要とすることを示唆している。
• このフレームワークは、IQP 回路やフーリエサンプリング回路にも拡張可能であり、スパース性の約束が成立する限り、それらの古典的シミュレータビリティが保証されることを示している。