[論文レビュー] Small k-pairable states

Nathan Claudet, Mehdi Mhalla+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本稿は確率的技法を用いて、k-ペア可能な小さなグラフ状態を構築し、n = O(k³ ln³k) のn-qubit状態がk-ペア可能であることを示した。これは、先行研究で要求された指数関数的n = 2³ᵏと比較して、kの多項式として著しく改善された結果である。この構成は頂点マイナーの普遍性に依拠しており、局所的グラフ次数に基づくペアラビリティの境界を確立している。

ABSTRACT

A $k$-pairable $n$-qubit state is a resource state that allows Local Operations and Classical Communication (LOCC) protocols to generate EPR-pairs among any $k$-disjoint pairs of the $n$ qubits. Bravyi et al. introduced a family of $k$-pairable $n$-qubit states, where $n$ grows exponentially with $k$. Our primary contribution is to establish the existence of 'small' pairable quantum states. Specifically, we present a family of $k$-pairable $n$-qubit graph states, where $n$ is polynomial in $k$, namely $n=O(k^3\ln^3k)$. Our construction relies on probabilistic methods. Furthermore, we provide an upper bound on the pairability of any arbitrary quantum state based on the support of any local unitary transformation that has the shared state as a fixed point. This lower bound implies that the pairability of a graph state is at most half of the minimum degree up to local complementation of the underlying graph, i.e., $k(|G angle)\le \lceil δ_{loc}(G)/2 ceil$. We also investigate the related combinatorial problem of $k$-vertex-minor-universality: a graph $G$ is $k$-vertex-minor-universal if any graph on any $k$ of its vertices is a vertex-minor of $G$. When a graph is $2k$-vertex-minor-universal, the corresponding graph state is $k$-pairable. More precisely, one can create not only EPR-pairs but also any stabilizer state on any $2k$ qubits through local operations and classical communication. We establish the existence of $k$-vertex-minor-universal graphs of order $O(k^4 \ln k)$. Finally, we explore a natural extension of pairability in the presence of errors or malicious parties and show that vertex-minor-universality ensures a robust form of pairability.

研究の動機と目的

• k-ペア可能な量子状態がkの多項式関数で表される量子ビット数で構築可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• グラフ状態のk-ペアラビリティとk-頂点マイナー普遍性という組合せ的性質との間の関係を確立すること。
• 局所ユニタリ固定点のサポートに基づいて、任意の量子状態のk-ペアラビリティに対する上界を導出すること。
• 頂点マイナー普遍性を用いて、誤りや悪意ある参加者がある状況下でもペアラビリティのロバスト性を調査すること。
• 小さなk-ペア可能な状態の存在を非構成的証明により示し、今後の明示的構成の動機付けを行うこと。

提案手法

• 確率的技法を用いて、n = O(k³ ln³k) 量子ビットのk-ペア可能なグラフ状態の存在を証明し、そのような状態が正の確率で存在することを示した。
• グラフ状態|G⟩がk-ペア可能であることは、その基盤となるグラフGの任意のサイズkのマッチングがGの頂点マイナーであることに同値であることを確立した。
• 特に局所補完と頂点削除を用いたグラフ理論の道具を適用し、CLOCC（クリフォード操作、パウリ測定、古典的通信）を介してLOCCプロトコルをシミュレートした。
• 計算基底での測定とZ補正による頂点削除が、EPR対や安定化子状態などの目的状態を生成する能力を保持することを活用した。
• k-ペアラビリティの上界を導出した：k(|G⟩) ≤ ⌈δ_loc(G)/2⌉、ここでδ_loc(G)は局所補完下での最小局所次数を表す。
• k-頂点マイナー普遍性の概念を導入した：グラフGがk-頂点マイナー普遍であるとは、任意のk頂点のグラフがGの頂点マイナーであることを意味する。2k-頂点マイナー普遍性がk-ペアラビリティを示すことを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-ペア可能な量子状態は、kの指数関数的ではなく多項式的関数で表される量子ビット数で構築可能だろうか？
• RQ2 グラフ状態のk-ペアラビリティとk-頂点マイナー普遍性という組合せ的性質との関係は何か？
• RQ3 グラフ状態の基盤となるグラフの構造的性質に基づいて、そのk-ペアラビリティにどの程度の上界を設定できるか？
• RQ4 頂点マイナー普遍性は、誤りや悪意ある参加者がある状況下でもk-ペアラビリティを保証できるだろうか？
• RQ5 CLOCCプロトコルを介さないk-ペアラビリティを示すグラフ状態が存在するだろうか？これは一般LOCCとクリフォードベースプロトコルとの間にギャップがあることを示唆するだろうか？

主な発見

• 本稿は、n = O(k³ ln³k) のk-ペア可能なn-量子ビットのグラフ状態が存在することを証明し、小さなk-ペア可能な状態に関する未解決問題を解決した。
• グラフ状態|G⟩のk-ペアラビリティが、基盤となるグラフGが2k-頂点マイナー普遍であることと同値であることを確立した。
• 上界を導出した：k(|G⟩) ≤ ⌈δ_loc(G)/2⌉、ここでδ_loc(G)は局所補完下での最小局所次数を表す。
• 2k-頂点マイナー普遍なグラフはO(k⁴ ln k)個の頂点で存在可能であり、これはO(k⁴ ln k)のサイズのk-ペア可能な状態の存在を示唆している。
• 構成は非構成的であるが、確率的技法により、任意の所望のk個のEPR対について、グリーディアルゴリズムを用いて必要な局所操作を多項式時間で計算可能であることが保証されている。
• 頂点マイナー普遍性は、誤りや悪意ある行動がある状況下でも機能を維持するロバストなペアラビリティを提供する。