[論文レビュー] Smooth Fock bundles, and spinor bundles on loop space

Peter Kristel, Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、rigged Hilbert空間とFréchet構造を用いて、ループ空間上の滑らかなFock bundleを構築するきめ細やかな枠組みを確立する。これにより、Clifford代数および実装群の滑らかな作用が可能となる。主な貢献は、ループ空間上でのスピンバンドルの完全かつ滑らかな構成であり、Lagrangian Grassmannianのgerbeとスピンリフトのgerbeの間の自然な同型を介して、それらがループスピン構造と同値であることを確立する。

ABSTRACT

We address the construction of smooth bundles of fermionic Fock spaces, a problem that appears frequently in fermionic gauge theories. Our main motivation is the spinor bundle on the free loop space of a string manifold, a structure anticipated by Killingback, with a construction outlined by Stolz-Teichner. We develop a general framework for constructing smooth Fock bundles, and obtain as an application a complete and well-founded construction of spinor bundles on loop space.

研究の動機と目的

• Lagrangian部分空間を連続的に選べないパラメータ空間上でのフェルミオン的Fock空間バンドルの滑らかな構築に取り組むこと。
• Stolz-TeichnerおよびAmblerの研究を一般化・完成させ、連続的FockバンドルをFréchet構造を備えた滑らかでriggedなバージョンに昇格させること。
• ストリング多様体上のループスピン構造とその自由ループ空間上での滑らかなスピンバンドルとの間の自然な対応関係を確立すること。
• 制限付き直交群およびその実装者群がrigged Fock空間上で滑らかに作用するための、厳密な表現論的基盤を提供すること。
• 滑らかなFockバンドルの障害が、スピンリフトgerbeと同型なバンドルgerbeによって記述され、その自明化がループスピン構造に対応することを示すこと。

提案手法

• Fock空間に稠密でFréchetな部分空間を備えることで、滑らかさ構造を可能にするrigged Hilbert空間バンドルを導入する。
• Bogoliubov自己同型およびClifford乗法の滑らかさを保証するため、$\operatorname{Cl}(V)^\infty \subset \operatorname{Cl}(V)$ というFréchet部分代数を構成する。
• 極化依存のFockバンドル $\mathcal{F}^\infty(\mathcal{H})^{\mathrm{pol}}$ を、ループ空間 $LM$ 上の滑らかでねじれのあるベクトルバンドルとして定義する。
• フレームバンドル構成を用いて、Lagrangian Grassmannianのgerbe $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$ とスピンリフトgerbe $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ の間の自然な同型を確立する。
• rigged構造を用いて、Fockバンドル上でのCliffordバンドル $\pi^*\operatorname{Cl}^\infty(L\operatorname{Spin}(E))$ の作用が滑らかで、実装可能性条件と整合していることを証明する。
• gerbe $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$ と $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ の同型を活用し、gerbeの自明化が滑らかなFockバンドル（つまり $LM$ 上のスピンバンドル）を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lagrangian部分空間が連続的に変化しない場合に、どのようにしてループ空間上での滑らかなFockバンドルを構築できるか？
• RQ2 フェルミオン的ゲージ理論における滑らかな群作用を支える、滑らかなヒルベルトバンドルの正しい無限次元一般化とは何か？
• RQ3 ストリング多様体上のループスピン構造と、その自由ループ空間上での滑らかなスピンバンドルの存在との関係は何か？
• RQ4 滑らかなFockバンドルの障害は、バンドルgerbeによって記述可能であり、もしそうならば、既知の幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ5 rigged Hilbert空間およびFréchet部分代数は、Clifford代数およびその実装者の滑らかな表現を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• Fock空間 $\mathcal{F}_L$ は、実装者群 $\operatorname{Imp}_L(V)$ が $\mathcal{F}_L^\infty$ 上で滑らかに作用する稠密でFréchetな部分空間 $\mathcal{F}_L^\infty$ を持つ。
• Bogoliubov自己同型 $\operatorname{O}_L(V)$ が滑らかに作用するFréchet部分代数 $\operatorname{Cl}(V)^\infty \subset \operatorname{Cl}(V)$ が存在する。
• Clifford乗法は、$\operatorname{Cl}(V)^\infty \times \mathcal{F}_L^\infty \to \mathcal{F}_L^\infty$ という滑らかな作用に制限され、滑らかな構造と整合性を持つ。
• 極化依存のFockバンドル $\mathcal{F}^\infty(\mathcal{H})^{\mathrm{pol}}$ は、$\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$-ねじれのあるベクトルバンドルであり、$\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$ はスピンリフトgerbe $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ と同型である。
• gerbe $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ の自明化は、$E$ 上のループスピン構造に正確に対応し、$LM$ 上の滑らかなFockバンドルを誘導する。
• 自由ループ空間 $LM$ 上の偶数および奇数のループスピンバンドルは、滑らかでねじれたFockバンドルとして構成され、偶数バンドル $\mathbb{S}^\infty_{\text{even}}(\widetilde{L\operatorname{Spin}}(E))$ はループスピン構造に対して自然に関連付けられる。