[論文レビュー] Solution to a non-Archimedean Monge-Ampère equation

Sébastien Boucksom, C. Favre+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全な離散的評価体の残渣特性が0である滑らかな射影的ベルコヴィッチ空間上の豊富な線分束に対して、連続的かつ半正定な計量の存在と一意性（スケーリングを除く）を確立する。この計量の非アーベル・モンジュ＝アンペール測度は、全質量を持つ与えられた正のラドン測度に一致する。解は、複素モンジュ＝アンペール理論にインspiredされた変分法によって構成され、容量推定と特異的半正定計量のコンパクト性に依拠する。技術的仮定として、測度がSNCモデルの双対複体に台を持つものとする。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective Berkovich space over a complete discrete valuation field K of residue characteristic zero, and assume that X is defined over a function field admitting K as a completion. Let further m be a positive measure on X and L be an ample line bundle such that the mass of m is equal to the degree of L. Then we show the existence a continuous semipositive metric whose associated measure is equal to m in the sense of Zhang and Chambert-Loir. This we do under a technical assumption on the support of m, which is, for instance, fulfilled if the support is a finite set of divisorial points. Our method draws on analogues of the variational approach developed to solve complex Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds by Berman, Guedj, Zeriahi and the first named author, and of Kołodziej's continuity estimates. It relies in a crucial way on the compactness properties of singular semipositive metrics, as defined and studied in a companion article.

研究の動機と目的

• 非アーベル体上の射影的代数多様体における複素モンジュ＝アンペール方程式の非アーベル的類似を解くこと。
• 与えられた正のラドン測度（全質量）と関連するモンジュ＝アンペール測度を持つ、豊富な線分束上の連続的かつ半正定計量の存在を確立すること。
• 複素幾何学における変分法および容量に基づく手法を、特にベルコヴィッチ空間およびSNCモデルの文脈において非アーベル幾何学へと拡張すること。
• 解のスケーリングを除く一意性を証明し、複素幾何学の結果を非アーベルの場合へ一般化すること。
• 算術的および非アーベル幾何学における退化モンジュ＝アンペール方程式を研究するための基盤的枠組みを提供すること。

提案手法

• ベールマン、グェージ、ツェリアヒ、ブークソムが複素モンジュ＝アンペール理論で用いた変分的アプローチを非アーベル設定へ適応すること。
• 部分解の成長を制御し、等連続性を確立するために、容量および擬連続性推定を用いること。
• 比較原理およびエネルギー推定を用いて、有界関数上のモンジュ＝アンペール作用素を制御すること。
• 特異的半正定計量のコンパクト性（同伴論文で確立）に依拠し、収束する部分列を抽出すること。
• コロドジー型の$C^0$推定を用いて部分解の振動を制御し、極限計量の連続性を保証すること。
• SNC（単純正則交差）モデルを用いて双対複体を表現し、測度がその上に台を持つものと仮定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた全質量を持つ正の測度に対して、非アーベルモンジュ＝アンペール方程式が連続解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 複素幾何学における変分法が、非アーベル設定における退化モンジュ＝アンペール方程式を解くために適応可能か？
• RQ3 測度の台が解の存在性および正則性に果たす役割は何か？
• RQ4 関数体上での多様体の代数的可解性は、方程式の可解性にどのように影響するか？
• RQ5 解はスケーリングを除いて一意的か？また、非アーベル文脈におけるモンジュ＝アンペール測度とどのように関係するか？

主な発見

• 完全な離散的評価体の残渣特性が0である滑らかな射影的ベルコヴィッチ空間上の豊富な線分束に対して、連続的かつ半正定計量が存在する。
• 構成された計量のモンジュ＝アンペール測度は、所与の正のラドン測度（全質量）に一致する。
• 解は、ユアンとチャンによって確立されたように、スケーリングを除いて一意的である。
• 測度がSNCモデルの双対複体に台を持つという技術的仮定のもとで、存在結果が成り立つ。
• この方法は、多様体の代数的可解性に強く依存しており、構成における必要なコンパクト性および有限性の性質を保証する。
• 解は連続的であるが、必ずしも滑らかではないため、測度が有限個の除法的点に台を持つ場合の高次の正則性の問題は未解決のまま残っている。