[論文レビュー] Solve the General Constrained Optimal Control Problem with Common Integration Method

Sheng Zhang, Jingyuan Gao|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、変化進化法を用いて一般の制約付き最適制御問題（OCP）を初期値問題（IVP）に変換することで、取り扱いが困難な経路制約を含む一般のOCPを解くための新しい数値的手法を提案する。コストレートフリーの最適性条件を確立し、カーラシュ＝クーン＝タッカー（KKT）乗数に対する積分方程式を導出し、標準的な常微分方程式（ODE）積分法を用いた収束を可能にする。

ABSTRACT

Computation of general state- and/or control-constrained Optimal Control Problems (OCPs) is difficult for various constraints, especially the intractable path constraint. For such problems, the theoretical convergence of numerical algorithms is usually not guaranteed, and the right solution may not be successfully obtained. With the recently proposed Variation Evolving Method (VEM), the evolution equations, which guarantee the convergence towards the optimal solution in theory even for the general constrained OCPs, are derived. In particular, the costate-free optimality conditions are established. Besides the analytic expressions of the costates and the Lagrange multipliers adjoining the terminal constraint, the integral equation that determines the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) multiplier variable is also derived. Upon the work in this paper, the general constrained OCPs may be transformed to the Initial-value Problems (IVPs) to be solved, with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods.

研究の動機と目的

• 複雑な状態および制御制約、特に従来の手法では取り扱いが難しい経路制約を有する一般の最適制御問題を解く挑戦に応える。
• 従来の数値アルゴリズムが制約付きOCPに対して理論的収束保証を欠いているという問題を克服する。
• 一般の制約構造に対しても最適解への収束を保証する体系的なフレームワークを構築する。
• コストレートの明示的計算を回避できるコストレートフリーの最適性条件を確立する。
• 一般の制約付きOCPにおいて制約を強制するためのKKT乗数変数を決定するための積分方程式を導出する。

提案手法

• 一般の制約付きOCPに対して最適解への収束を保証する進化方程式を導出するための変化進化法（VEM）を導入する。
• コストレートを明示的に解く必要がなくなるコストレートフリーの最適性条件を導出する。
• 制約に関連するカーラシュ＝クーン＝タッカー（KKT）乗数変数を決定する積分方程式を定式化する。
• 導出された進化方程式と積分制約を用いて、元の制約付きOCPを初期値問題（IVP）に変換する。
• 得られたIVPを解くために一般的な常微分方程式（ODE）数値積分法を用いる。
• KKT条件を進化ダイナミクスに直接埋め込むことで、解法プロセスの理論的収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 取り扱いが困難な経路制約を有する制約付き最適制御問題を解く一般枠組みを構築可能か？ また、収束を保証できるか？
• RQ2 コストレートフリーの最適性条件をどのように導出すれば、コストレートの明示的計算を回避できるか？
• RQ3 一般の制約付きOCPにおいて、KKT乗数を決定するためのどの積分方程式の定式化が有効か？
• RQ4 標準的なODE積分法を、変換されたOCPを初期値問題として解くためにどの程度適用可能か？
• RQ5 提案手法は、複雑または滑らかでない制約を有する一般のOCPに対しても理論的収束を保証できるか？

主な発見

• 提案手法は、一般の制約付き最適制御問題を初期値問題（IVP）に効果的に変換でき、標準的なODE積分法を用いた解法が可能であることを示した。
• コストレートフリーの最適性条件が厳密に導出され、コストレートの解法を明示的に行う必要がなくなり、数値的手順が簡素化された。
• 制約を解法プロセスで強制するために不可欠なKKT乗数変数に関する積分方程式が確立された。
• 取り扱いが困難な経路制約を有するOCPに対しても、解法プロセスの理論的収束が保証された。これは、従来手法の主要な限界を解消した。
• フレームワークは、終端制約や複雑な不等式制約を有するOCPを含む広範なOCPクラスに適用可能である。
• 理論的導出を通じて手法の有効性が検証され、一般的な数値ODEソルバーと相性が良く、実装可能性が保証された。