[論文レビュー] Solving Weighted Voting Game Design Problems Optimally: Representations, Synthesis, and Enumeration

Bart de Keijzer, Tomas Klos+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Game Theory and Voting Systems参考文献 46被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、目的のパワーインデックス分布に一致する重み付きボトムゲームを最適に合成することで、重み付きボトムゲーム設計問題を正確かつ任意のタイミングで解くアルゴリズムを提示する。出力多項式時間で実行される新規な列挙法を導入し、重み付きボトムゲームの空間における効率的な探索を可能にし、正規化されたバーンゼーフインデックスを用いた実験を通じて、指数的実行時間複雑性にもかかわらず小規模なインスタンスで収束することを示している。

ABSTRACT

We study the inverse power index problem for weighted voting games: the problem of finding a weighted voting game in which the power of the players is as close as possible to a certain target distribution. Our goal is to find algorithms that solve this problem exactly. Thereto, we study various subclasses of simple games, and their associated representation methods. We survey algorithms and impossibility results for the synthesis problem, i.e., converting a representation of a simple game into another representation.
 We contribute to the synthesis problem by showing that it is impossible to compute in polynomial time the list of ceiling coalitions (also known as shift-maximal losing coalitions) of a game from its list of roof coalitions (also known as shift-minimal winning coalitions), and vice versa.
 Then, we proceed by studying the problem of enumerating the set of weighted voting games. We present first a naive algorithm for this, running in doubly exponential time. Using our knowledge of the synthesis problem, we then improve on this naive algorithm, and we obtain an enumeration algorithm that runs in quadratic exponential time (that is, O(2^(n^2) p(n)) for a polynomial p). Moreover, we show that this algorithm runs in output-polynomial time, making it the best possible enumeration algorithm up to a polynomial factor.
 Finally, we propose an exact anytime algorithm for the inverse power index problem that runs in exponential time. This algorithm is straightforward and general: it computes the error for each game enumerated, and outputs the game that minimizes this error. By the genericity of our approach, our algorithm can be used to find a weighted voting game that optimizes any exponential time computable function. We implement our algorithm for the case of the normalized Banzhaf index, and we perform experiments in order to study performance and error convergence

研究の動機と目的

• 与えられたターゲットのパワーインデックス分布に最も近いものを得る重み付きボトムゲームを見つけることで、重み付きボトムゲーム設計の逆問題を解くこと。
• 重み付きボトムゲーム上での任意の指数的時間計算可能な関数を最適化できる、正確で汎用的なアルゴリズムを開発すること。
• 局所探索法の改善を図り、枝刈りヒューリスティクスを用いた全列挙により最適性の保証を提供すること。
• 実用的問題サイズにおける重み付きボトムゲームの列挙の計算複雑性と実行可能性を分析すること。
• 小規模なインスタンスにおける誤差収束と実行時間性能を実験的に評価すること。

提案手法

• すべての重み付きボトムゲームを生成するため、二重指数的時間で実行されるナイーブな列挙アルゴリズムを提案する。
• 屋根と天井のコアリション間の合成結果を活用することで列挙を改善し、時間計算量を2次指数的（$O(2^{n^2} \cdot p(n))$）に削減する。
• 重み付きボトムゲームに部分順序を導入し、体系的な探索を可能にするとともに、非最適な領域の枝刈りを可能にする。
• 各列挙されたゲームの誤差を計算し、これまでに得られた最良の解を返す、任意のタイミングアルゴリズムを開発する。
• 列挙の過程で、各ゲームの正規化バーンゼーフインデックスを計算するために線形計画法の技術を用いる。
• 小規模なインスタンス（$n \leq 9$）における実行時間と誤差収束を研究するために、最適化を行わないバージョンのアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きボトムゲームのパワーインデックス投票ゲーム設計問題は、正確な列挙に基づくアプローチによって最適に解けるか？
• RQ2 出力多項式時間で実行される重み付きボトムゲームの列挙アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 屋根と天井のコアリション間の合成問題は多項式時間で解けるか、それとも本質的に困難か？
• RQ4 任意のタイミングアルゴリズムにおける誤差の収束速度はどの程度で、実行時間と解の品質のトレードオフはいかなるものか？
• RQ5 重み付きボトムゲームに導入された部分順序を活用することで、最適性の保証を維持したまま、探索空間の大部分を枝刈りできるか？

主な発見

• 列挙アルゴリズムは出力多項式時間で実行され、問題の二重指数的最悪ケースサイズに対し、多項式要因の範囲で最良の性能を達成している。
• 屋根コアリションから天井コアリションのリストを多項式時間で計算することは不可能であり、合成問題における根本的な難解性を示している。
• $n = 10$では、現在の実装では実行時間が数十から数千年にわたる見込みであり、計算が非現実的になるため、最適化の必要性が示された。
• $n \leq 9$の範囲では、最小の勝利コアリション数$m$を持つ正規化された重み付きボトムゲームの正確な数が正しく計算され、既知の漸近的成長パターンを確認した。
• 実験では誤差収束が観察されたが、$n$が大きくなると収束が著しく遅くなるため、さらなる最適化なしでは実用的でない。
• このアルゴリズムは汎用的であり、パワーインデックスに限らず、重み付きボトムゲーム上での任意の指数的時間計算可能な関数の最適化に応用可能である。