[論文レビュー] Some continuation properties via minimax arguments

Louis Jeanjean|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Nonlinear Partial Differential EquationsMathematics参考文献 13被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、ミニマックス法を用いて非線形楕円型方程式の解の連続性を確立し、適切な条件下で解の分岐 $ u_\lambda $ がパラメータ $ \lambda $ に対して連続に依存することを証明する。抽象的なミニマックス議論を用いて解のグローバルな継続性を示し、強制項 $ f $ が符号を変える場合でも、その $ L^q $-ノルムが十分に小さい限り、非同次問題に対して正の解が存在することを証明する。

ABSTRACT

This note is devotes to some remarks regarding the use of variational methods, of minimax type, to establish continuity type results

研究の動機と目的

• パラメータ依存楕円型方程式の解分岐の連続性を、変分的ミニマックス法を用いて確立すること。
• 非同次楕円型問題に対して、非線形項 $ f $ が符号を変える場合でも正の解が存在することを証明すること。
• 標準的な非負性仮定 $ f \geq 0 $ を超えて、解のグローバル継続に関する結果を拡張すること。
• 極限汎関数の臨界点にミニマックス列が収束する抽象的条件を提供すること。
• $ f $ の $ L^q $-ノルムが小さい限り、$ f \geq 0 $ を仮定しないでも正の解が存在することを示すこと。

提案手法

• 実ヒルベルト空間 $ X $ 上に、一パラメータ族の $ C^1 $-汎関数 $ I_\lambda(u) = A(u) - \lambda B(u) $ を定式化し、$ \lambda \to 1 $ を注目するパラメータとする。
• 4つの抽象的仮定を課す：$ B $ 及びその微分の有界性、エネルギー値 $ c_\lambda $ が一様有界となる臨界点 $ u_\lambda $ の存在、$ \lambda \to 1 $ のとき $ u_\lambda $ の有界性、および極限汎関数 $ I_1 $ におけるパライス・スメイル条件。
• 極限汎関数 $ I_1 $ にマウンテン・パス定理を適用し、$ S $ が有界区間であるような $ c \in S $ の臨界点の存在を保証する。
• $ \lambda \to 1 $ のとき $ u_\lambda $ の収束を用いて、極限臨界点の一意性のもとで解分岐が連続であることを示す。
• 抽象的枠組みを、$ \mathbb{R}^N $ 上の自己同型方程式および有界領域上の非同次問題の2つのクラスのPDEに適用する。
• ソボレフ埋め込み、一様有界性、楕円型正則性を用いて、具体的な状況での抽象的仮定を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ依存楕円型方程式の解 $ u\_\lambda $ が $ \lambda $ に対して連続に依存する条件は何か？
• RQ2 強制項 $ f $ が非負でないが $ L^q $-ノルムが小さい場合、非同次楕円型方程式に対して正の解が保証されるか？
• RQ3 抽象的ミニマックス枠組みは、パラメータ $ \lambda $ が臨界値に近づくときでも解分岐の収束を保証するか？
• RQ4 最小エネルギーレベルのマウンテン・パス特徴付けを用いて、解のグローバルな継続性を証明できるか？
• RQ5 符号変化非線形性を持つ方程式に対して、$ f \geq 0 $ を仮定しないでも変分法により正の解を得ることは可能か？

主な発見

• 非線形項 $ g $ が超線形かつ下臨界成長条件を満たし、各 $ \lambda $ に対して正の解の一意性が成り立つ限り、$ \mathbb{R}^N $ 上の自己同型方程式 $ -\Delta u + \lambda u = g(u) $ に対して、解写像 $ \lambda \mapsto u_\lambda $ は連続である。
• 有界領域上での非同次問題 $ -\Delta u = |u|^{p-1}u + f(x) $ に対して、ある $ \alpha > 0 $ が存在し、$ \|f\|_q \leq \alpha $ ならば、$ f $ が符号を変える場合でも正の解が存在する。
• 抽象的ミニマックス枠組みにより、$ \lambda_n \to 1 $ となる任意の列 $ u_{\lambda_n} $ が、パライス・スメイル条件が成り立つ限り、極限汎関数 $ I_1 $ の臨界点に（部分列を除いて）収束することが保証される。
• $ f \geq 0 $ を仮定しないでも、$ \|f\|_q $ が小さいときの正の解の存在が、パライス・スメイル列の収束性と極限における最大値原理に依拠して確立される。
• 証明は、$ I_f $ のパライス・スメイル列が $ H^1_0(\Omega) $ 内で有界かつ強収束することを示し、$ f \to 0 $ の極限で非自明な非負解が得られることに依拠する。その後、強い最大値原理により、この解が正であることが示される。
• この手法により、局所最小としての第二の解が存在可能であるが、$ f \to 0 $ のときこの解はゼロに収束するため、正の性質には寄与しない。