[論文レビュー] Space- and Time-Efficient Algorithm for Maintaining Dense Subgraphs on One-Pass Dynamic Streams

Sayan Bhattacharya, Monika Henzinger+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最良の空間効率とほぼ定数時間の更新時間で、密度の高い部分グラフを維持する最初の1パス動的ストリーミングアルゴリズムを提示する。$ ilde{O}(n)$の空間と$ ilde{O}(1)$の amortized 更新時間およびクエリ時間で、$(4+\epsilon)$-近似を達成しており、従来の複数パス手法に比べ顕著に改善され、時間的・空間的効率の高いグラフストリーム処理の新しい基準を確立している。

ABSTRACT

While in many graph mining applications it is crucial to handle a stream of updates efficiently in terms of {\em both} time and space, not much was known about achieving such type of algorithm. In this paper we study this issue for a problem which lies at the core of many graph mining applications called {\em densest subgraph problem}. We develop an algorithm that achieves time- and space-efficiency for this problem simultaneously. It is one of the first of its kind for graph problems to the best of our knowledge. In a graph $G = (V, E)$, the "density" of a subgraph induced by a subset of nodes $S \subseteq V$ is defined as $|E(S)|/|S|$, where $E(S)$ is the set of edges in $E$ with both endpoints in $S$. In the densest subgraph problem, the goal is to find a subset of nodes that maximizes the density of the corresponding induced subgraph. For any $ε>0$, we present a dynamic algorithm that, with high probability, maintains a $(4+ε)$-approximation to the densest subgraph problem under a sequence of edge insertions and deletions in a graph with $n$ nodes. It uses $ ilde O(n)$ space, and has an amortized update time of $ ilde O(1)$ and a query time of $ ilde O(1)$. Here, $ ilde O$ hides a $O(\poly\log_{1+ε} n)$ term. The approximation ratio can be improved to $(2+ε)$ at the cost of increasing the query time to $ ilde O(n)$. It can be extended to a $(2+ε)$-approximation sublinear-time algorithm and a distributed-streaming algorithm. Our algorithm is the first streaming algorithm that can maintain the densest subgraph in {\em one pass}. The previously best algorithm in this setting required $O(\log n)$ passes [Bahmani, Kumar and Vassilvitskii, VLDB'12]. The space required by our algorithm is tight up to a polylogarithmic factor.

研究の動機と目的

• 最小限の空間的・時間的オーバーヘッドで、動的グラフストリームにおける密度の高い部分グラフの維持に挑むこと。
• エッジの挿入と削除を効率的に処理できる1パスストリーミングアルゴリズムを設計すること。
• 強い近似保証を維持しながら、ほぼ定数時間の更新およびクエリ時間を達成すること。
• 理論的ストリーミングモデルと実用的な動的グラフワークロードのギャップを埋め、リアルタイム分析を可能にすること。

提案手法

• 構造的性質を動的更新下でも維持できる、新規な$(\alpha,d,L)$-分解を用いる。
• エッジの効率的サンプリングとグラフのコンactなスケッチの維持に、$\ell_0$-サンプリングと一様ハッシュを採用する。
• ポテンシャル関数に基づく解析により、1回の更新における構造的変更の回数を制限し、 amortized $ ilde{O}(1)$の更新時間を保証する。
• 時間の動的分割により、スパースな区間と密度の高い区間に分類し、エッジ密度に応じて最適化戦略を切り替える。
• 密度の高い区間では、高速な近似を可能にするために、特別なサブルーチンであるDynamic-Streamを用いる。
• 集中限界と多項対数因子を活用し、$ ilde{O}(n)$の空間下でも高確率での正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ ilde{O}(n)$の空間と$ ilde{O}(1)$の amortized 更新時間で、$(4+\epsilon)$-近似の密度の高い部分グラフを1パスの動的ストリーミングで維持できるか？
• RQ2 動的グラフストリームにおいて、強い近似比を維持しながら、サブ線形時間のクエリを達成できるか？
• RQ3 空間的・時間的効率を最小限に保ちつつ、サブ線形時間および分散ストリーミング設定に拡張可能か？
• RQ4 空間的・時間的効率の良い動的密度の高い部分グラフアルゴリズムにおける近似比の理論的限界は何か？
• RQ5 類似の技術が、動的ストリームにおける最大マッチングや最短経路といった他の基本的グラフ問題に対しても適用可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、$ ilde{O}(n)$の空間と$ ilde{O}(1)$の amortized 更新時間およびクエリ時間で、密度の高い部分グラフ問題に対して$(4+\epsilon)$-近似を達成する。
• $(2+\epsilon)$-近似に改善可能であり、その場合$ ilde{O}(n)$のクエリ時間が必要となり、サブ線形時間アルゴリズムが可能になる。
• 本アルゴリズムは、動的ストリーム上で1パスで密度の高い部分グラフを維持できる最初のものであり、従来の$O(\log n)$-パス要件を大幅に改善している。
• 有向グラフ、サブ線形時間アルゴリズム、分散ストリーミングモデルへの拡張が可能であり、通信量は$ ilde{O}(k+n)$に抑えられる。
• 多パーティ通信モデルにおける$ ilde{\Omega}(n/k^2)$の下界により、空間計算量が多項対数要因の範囲でタイトであることが示された。
• $\lambda$-近似アルゴリズムの硬さに関する結果から、$ ilde{\Omega}(n/\lambda^2)$のクエリが必要であることが示され、空間の下限が最適であることを裏付けた。