[論文レビュー] Space-time Averages of Classical Physical Fields

Roustam Zalaletdinov|ArXiv.org|Oct 29, 2004

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における古典的物理場の共変時空間平均化手順を、平行移動平均化バイベクトル作用素を用いて開発し、このような平均化が平均化された時空で非リーマン幾何を生じることを示している。この手法は、マクロな重力の平均化と比較され、両者とも非リーマン的構造を保つが、微分的および代数的性質において相違を示し、マクロな重力のスキームは局所性と共変微分とでの可換性において優れていることが示された。

ABSTRACT

A review on the main results concerning the algebraic and differential properties of the averaging and coordination operators and the properties of the space-time averages of macroscopic gravity is given. The algebraic and differential properties of the covariant space-time averaging procedure by means of using the parallel transportation averaging bivector operator are analyzed. The structure of the pseudo-Riemannian space-time manifolds of general relativity averaged by means of this procedure is discussed. A comparison of both procedures is given and the directions of further development of space-time averaging procedures of the physical classical fields are outlined.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の擬リーマン構造と整合する共変時空間平均化手順の開発。
• 曲がった時空における平均化および調整作用素の代数的および微分的性質の分析。
• マクロな重力の時空平均化スキームと平行移動バイベクトル作用素法の比較。
• 擬リーマン多様体の平均化がもたらす幾何的および物理的結果の調査、特に非リーマン的構造の出現。
• 平均化された場に基づく物理的に意味のある時空測定および宇宙論的モデル構築の基盤の構築。

提案手法

• 体積形式を備えた滑らか多様体上に、平行移動平均化バイベクトル作用素を用いた共変時空間平均化手順を定式化する。
• 平均化手順をテンソル場および幾何的対象に適用し、計量およびアフィン接続と整合することを保証する。
• 平均化作用素の形を単純化する適切な座標系を定義する。これはミンコフスキー空間におけるデカルト座標に類似している。
• 平均化作用素の代数的構造および共変微分との可換性を分析する。
• 提案された形式主義のもとでの時空平均値の一意性を証明する。
• 平均化された場の微分的性質および調整バイベクトルが平均化プロセスにおいて果たす役割を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らか多様体上で、事前に計量や接続を仮定せずに、完全に共変な形で時空平均化を定式化できるか？
• RQ2 マクロな重力スキームと平行移動バイベクトル法との間で、平均化手順の微分的および代数的性質はどのように異なるか？
• RQ3 元の時空が擬リーマン的である場合、平均化された時空にどのような幾何的構造が現れるか？
• RQ4 どのような条件下で、平均化手順が共変微分と可換になるか？
• RQ5 一般相対性理論における非リーマン的平均化幾何の物理的および宇宙論的意味は何か？

主な発見

• 平行移動バイベクトル作用素を用いた共変時空間平均化手順は、元の多様体が擬リーマン的であっても、平均化された時空で非リーマン幾何を生じることを示した。
• マクロな重力平均化スキームは、平均化された場が局所的で一価関数であり、平均化体積をパラメータとして持ち、共変微分と可換であることを保証する。
• 平行移動バイベクトル法は、リーマン曲率テンソルに強い制限を課さない限り、一般に局所性や共変微分との可換性を満たさない。
• マクロな重力と平行移動バイベクトル法の両方の平均化スキームが、非リーマン的平均化幾何を生じることから、平均化の過程で擬リーマン構造が根本的に破壊されることを示した。
• 任意のn次元滑らか多様体に体積形式が存在する限り、平均化作用素および調整作用素の存在定理を局所的に確立した。
• 平均化された時空幾何の構造は、対称型第二階テンソル $ g_{\alpha\beta} $ のセグレ代数的型に依存し、平均化されたアインシュタインテンソル $ G_{\alpha\beta} $ とは異なることが確認され、元のリーマン的構造が保存されないことが裏付けられた。