[論文レビュー] Spaces of Quantum Field Theories

Michael R. Douglas|arXiv (Cornell University)|May 16, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2次元自己対称場理論（CFT）間の距離関数を導入することにより、量子場理論（QFT）の『空間』を定義するフレームワークを提案する。リーマン多様体の分類にインspiredされ、随伴ブロックと結合則制約を用いた一貫性に基づくフローを定式化し、近似的・弱いQFTから物理的QFTへ体系的に到達する。主な結果として、演算子次元の推定上限と、一貫性を強制するメトリック駆動型フローが得られる。

ABSTRACT

The concept of a "space of quantum field theories" or "theory space" was set out in the 1970's in work of Wilson, Friedan and others. This structure should play an important role in organizing and classifying QFTs, and in the study of the string landscape, allowing us to say when two theories are connected by finite variations of the couplings or by RG flows, when a sequence of QFTs converges to another QFT, and bounding the amount of information needed to uniquely specify a QFT, enabling us to estimate their number. As yet we do not have any definition of theory space which can be used to make such arguments. In this talk, we will describe various concepts and tools which should be developed for this purpose, inspired by the analogous mathematical problem of studying the space of Riemannian manifolds. We state two general conjectures about the space of two-dimensional conformal field theories, and we define a distance function on this space, which gives a distance between any pair of theories, whether or not they are connected by varying moduli. Based on talks given at QTS6 (University of Kentucky), Erice, Texas A& M, and Northwestern University. To appear in the proceedings of QTS6.

研究の動機と目的

• リーマン多様体の空間に類似した『QFTの空間』を定義することで、量子場理論の幾何的・位相的枠組みを構築すること。
• 特に、c<2の2次元CFTにおいて、主場の急速な増加により代数的手法が失敗するような状況においても、QFTの分類のための体系的でない方法の欠如に対処すること。
• 結合対称性と演算子スペクトル制約を用いて、カップリング変化やRGフローによって接続されていなくても、任意の2つのQFT間の距離関数を定義すること。
• 結合則の破綻度を測る関数Uを最小化することで、弱いQFT（一貫性が不完全）から完全なQFTへと至るフローを構築すること。この際、結合定数と次元パラメータに対する勾配フローを用いる。
• 特に弦のランドスケープの文脈において、QFTの数の推定、収束性、理論空間内の接続性の理解のための基盤を提供すること。

提案手法

• 2次元CFTの空間に、対称点z=1/2における随伴ブロックの振る舞いを用いた距離関数を定義する。
• 4点関数の結合則を一貫性条件として用い、随伴ブロックを含む関数方程式として表現する。
• 有界な自己対称次元h, h̄ ≤ Hを持つ演算子から構築された近似4点関数における結合則の破綻度を測る関数Uを構築する。
• パラメータ空間（次元とOPE係数）における勾配フローを、方程式 Ẇi = -Gij ∂U/∂Vj により実装し、Uを最小化して一貫性のあるQFTに近づける。
• ユニタリティにより、結合則方程式のすべての項が正であることを保証し、2階微分の符号に基づく解析を可能にし、欠落した演算子の検出が可能になる。
• 有限次元の自己対称群SO(d,2)にのみ依存するように一般化することで、バーチャル・代数に依存しない一般化を達成し、任意の時空次元に適用可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QFTの空間に、距離、収束性、接続性といった概念を定義する幾何的構造を導入できるか？
• RQ2 有理的でない状況下でも、2次元CFTを一意に特定するのに必要な自由度数や自己対称次元の有限上界が存在するか？
• RQ3 結合則の破綻度関数Uを最小化することで、弱いQFTから体系的に一貫性のあるQFTを構築できるか？
• RQ4 z=1/2における随伴ブロックの振る舞いは、特定の次元の内部演算子を有するか否かの理論を区別できるか？
• RQ5 すべてのc<2のCFTが、有界なスカラー場を有する有限個のラグランジュアン理論からのRGフローとして得られるように、逆c定理を定式化できるか？

主な発見

• 自己対称性とz=1/2における随伴ブロックの振る舞いに基づき、カップリング変化によって接続されていなくても、任意の2つの2次元CFT間の距離関数が定義される。
• z=1/2における随伴ブロックの2階微分の差は、それぞれh_i < f(h_ϕ)およびh_i > f(h_ϕ)を満たす内部演算子の有無を示唆する。ここでf(h_ϕ) ≳ 4h_ϕ（d=2）。
• 有界な自己対称次元h, h̄ ≤ Hを持つ演算子から構築された近似4点関数における結合則の破綻度を測る関数Uが構築される。
• 演算子次元とOPE係数を変化させることでUを最小化する勾配フローが提案され、一貫性のあるQFTへの収束を目的とする。
• 本手法はバーチャル・代数理論に依存せず、有限次元の自己対称群SO(d,2)にのみ依存するため、任意の時空次元に一般化可能である。
• QFTをメトリック空間内の点とみなすことで、一貫性条件を幾何的制約として扱うという、QFTの分類への道筋を示唆する。