[論文レビュー] Spectral Networks and Snakes

Davide Gaiotto, Gregory W. Moore+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、クーロン分岐上の特別な領域付近でスプライスネットワークが制御可能となる、$A_{K-1}$クラス$S$の理論のクラス「リフト$A_1$理論」を導入する。特殊なスプライスネットワークから得られるダーブル座標と、ハイヤーティーチミュラー理論におけるフォック＝ゴンチャロフ座標との間で明確な対応関係を確立するとともに、$AD_1$超共形理論のリフト版におけるBPSスペクトル生成子を同定する。

ABSTRACT

We apply and illustrate the techniques of spectral networks in a large collection of A_{K-1} theories of class S, which we call "lifted A_1 theories." Our construction makes contact with Fock and Goncharov's work on higher Teichmuller theory. In particular we show that the Darboux coordinates on moduli spaces of flat connections which come from certain special spectral networks coincide with the Fock-Goncharov coordinates. We show, moreover, how these techniques can be used to study the BPS spectra of lifted A_1 theories. In particular, we determine the spectrum generators for all the lifts of a simple superconformal field theory.

研究の動機と目的

• リフト$A_1$理論と呼ばれる、クーロン分岐上の特別な領域付近でスプライスネットワークが制御可能となる$A_{K-1}$クラス$S$理論の取り扱いやすいクラスを構築すること。
• スプライスネットワークから導かれるダーブル座標とハイヤーティーチミュラー理論におけるフォック＝ゴンチャロフ座標との間の明確な対応関係を確立すること。
• 最小スプライスネットワークを用いて、$AD_1$超共形理論のレベル$K$リフトにおけるBPSスペクトル生成子を計算すること。
• スプライスネットワーク構成から自然に生じるフォック＝ゴンチャロフの組合せ的構造（例：$(K-1)$-三角形や「ヘび」）がどのようにして現れるかを示すこと。

提案手法

• クーロン分岐上に特徴的な「リフト領域」を持つ$A_{K-1}$クラス$S$理論として「リフト$A_1$理論」を定義し、親理論$A_1$との関係によりスプライスネットワークが簡略化されることを示す。
• $AD_1$理論のレベル$K$リフトに対して、二種類の最小スプライスネットワーク（「イン」と「 Yang」）を構成し、BPSスペクトルを記述するのに適した形式をとる。
• スプライスネットワークを用いて、ストークス行列とモノドロミー関係を介してヒチンmoduli空間上の座標系を定義する。特にケーブル変換と行列積を用いる。
• $K=3$および$K=4$に対して、基本行列$1+e_{ij}$の積を用いて、変換行列$M^{BA\to BC}$、$M^{CB\to CA}$、$M^{AC\to AB}$を明示的に計算し、モノドロミー恒等式を導出する。
• スプライスネットワークパラメータ$r^{xyz}$とフォック＝ゴンチャロフパラメータ$\hat{r}^{xyz}$の間の座標変換を導出し、重要な点で一致することを示す。
• 点$r^{xyz}=1$において、ケーブル行列$M^{BA\to BC}$がパスカルの三角形行列$\tau(K)$に一致することを証明し、二項係数の恒等式を用いてモノドロミー恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リフト$A_1$理論におけるスプライスネットワークは、ハイヤーティーチミュラー理論におけるフォック＝ゴンチャロフ座標とどのように関係しているか？
• RQ2 $AD_1$理論のレベル$K$リフトにおけるBPSスペクトルの構造は何か？ また、最小スプライスネットワークを用いてどのように計算できるか？
• RQ3 「ヘビ」や$(K-1)$-線の三角形といった組合せ的対象は、スプライスネットワーク構成からどのように自然に生じるか？
• RQ4 スプライスネットワークパラメータ$r^{xyz}$とフォック＝ゴンチャロフパラメータ$\hat{r}^{xyz}$との間の正確な変換関係は何か？
• RQ5 ケーブル変換行列が満たすモノドロミー恒等式は何か？ そしてそれがどのように二項係数の恒等式に還元されるか？

主な発見

• リフト$A_1$理論における特別なスプライスネットワークから得られるダーブル座標は、平坦接続のモジュライ空間上でのフォック＝ゴンチャロフ座標と完全に一致する。
• $K=3$の場合、スプライスネットワークパラメータとフォック＝ゴンチャロフパラメータの間の変換は$\hat{r}^{000} = 1/r^{000}$であり、モノドロミー関係から$\kappa = r^{000}$が得られる。
• $K=4$の場合、座標変換は$\hat{r}^{100} = \frac{1 + r^{100} + r^{100}r^{010}}{r^{010}(1 + r^{001} + r^{001}r^{100})}$で与えられ、$\hat{r}^{010}$および$\hat{r}^{001}$に対しても同様の式が成り立つ。
• 点$r^{xyz} = 1$において、ケーブル行列$M^{BA\to BC}$は$\tau(K) = \sum_{i,j=1}^K \binom{K-i}{K-j} e_{ij}$に一致し、パスカルの三角形が埋め込まれる。
• モノドロミー恒等式$(W_0^{(K)} \tau(K) W_0^{(K)}) \tau(K) (W_0^{(K)} \tau(K) W_0^{(K)}) = (-1)^{K-1} W_0^{(K)}$は、既知の二項係数の恒等式に還元される。
• フォック＝ゴンチャロフ理論における「ヘビ」や$(K-1)$-線の三角形といった組合せ的構造は、ケーブル変換と行列積を介してスプライスネットワーク枠組みから自然に生じる。