[論文レビュー] Stratifications and quasi-projective coarse moduli spaces for the stack of Higgs bundles

Eloise Hamilton|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンpaktoなリーマン面上のヒッグス bundle のモジュライスタックにおける不安定な層の構造に、非再帰的幾何的不変理論（NR-GIT）を適用し、準射影的でありながら粗いモジュライ空間を構成する。2つの洗練された層化構造（ヒッグス bundle の不安定性タイプおよび元の bundle の不安定性タイプに基づく）を導入し、各層に対して明示的な射影的完備化を提供する。ランク 2 の場合に、完全なモジュライ的記述が得られる。

ABSTRACT

The classification problem for Higgs bundles of a fixed rank and degree on a compact Riemann surface is encoded in the moduli stack of such objects. Nitsure's GIT construction of the moduli space of semistable Higgs bundles produces a quasi-projective coarse moduli space (if the rank and degree are coprime) for the semistable stratum of this moduli stack. Nevertheless, GIT cannot be used to produce coarse moduli spaces for the complement of the semistable stratum. In this paper we use a recent generalisation of GIT, called Non-Reductive GIT, to construct two stratifications of the stack of Higgs bundles which satisfy the property that each stratum admits a quasi-projective coarse moduli space with an explicit projective completion. The first is a refinement of the Higgs Harder-Narasimhan stratification of the stack of Higgs bundles (defined by the instability type of the Higgs bundle), while the second is a refinement of the Harder-Narasimhan stratification (defined by the instability type of the underlying bundle). We provide a complete and explicit moduli-theoretic description of both refined stratifications in the rank $2$ case.

研究の動機と目的

• ヒッグス bundle のモジュライスタックにおける不安定な層の粗いモジュライ空間の欠如に応えること。Nitsure の半安定ヒッグス bundle に対する GIT の構成を超えて。
• GIT の一般化を用いて、半安定領域を超えたモジュライ的構成を拡張すること。
• ヒッグス bundle スタックの洗練された層化構造における各層に対して、明示的な射影的完備化を提供すること。
• ランク 2 の場合に、洗練された層化構造の完全なモジュライ的記述を提供すること。
• 2つの洗練された層化構造における各層が、準射影的粗いモジュライ空間を備えていることを確立すること。

提案手法

• 標準的な GIT が失敗する不安定な層に対して、非再帰的 GIT を用いて粗いモジュライ空間を構成する。
• 既存の層化構造の2つの異なる洗練を導入する：1つはヒッグス bundle の不安定性タイプに基づき、もう1つは元のベクトル bundle の不安定性タイプに基づく。
• ヒッグス bundle やその元の bundle のハラーナラシムアン型を用いて層を定義し、各層が群作用に対して不変であることを保証する。
• 各層に対して明示的な射影的完備化を構成し、粗いモジュライ空間が準射影的であることを保証する。
• ヒッグス bundle のスタックに非再帰的 GIT の一般枠組みを適用し、非再帰的群作用を扱える能力を活用する。
• ランク 2 の場合に、両方の洗練された層化構造の完全なモジュライ的記述を、明示的な不変量と安定性条件を用いて提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非再帰的 GIT を用いて、ヒッグス bundle のモジュライスタックにおける不安定な層の各層に対して、準射影的粗いモジュライ空間を構成できるか？
• RQ2 ヒッグスのハラーナラシムアン層化構造をどのように洗練すれば、各層が準射影的粗いモジュライ空間を備えるようにできるか？
• RQ3 ランク 2 の場合に、洗練された層化構造のモジュライ的構造はどのようなものか？
• RQ4 元の bundle の不安定性タイプとヒッグス bundle の不安定性タイプの間で、良いモジュライ性を持つ層を定義する際に、どちらがより適切か？
• RQ5 洗練された層化構造における各層に対して、明示的な射影的完備化を構成できるか？

主な発見

• 非再帰的 GIT は、ヒッグス bundle スタックの2つの洗練された層化構造における各層に対して、準射影的粗いモジュライ空間を成功裏に構成した。
• 最初の洗練は、ヒッグスのハラーナラシムアン型に基づくもので、ヒッグス bundle の不安定性による層化を洗練したものである。
• 2番目の洗練は、元のベクトル bundle のハラーナラシムアン型に基づくもので、良いモジュライ性を持つ代替の層化構造を提供する。
• 両方の洗練された層化構造における各層は、明示的な射影的完備化を備えた準射影的粗いモジュライ空間を備えている。
• ランク 2 の場合、両方の洗練された層化構造に対して完全かつ明示的なモジュライ的記述が得られた。
• この構成は、半安定ヒッグス bundle を超えて拡張され、Nitsure の構成における標準 GIT の欠落を解消した。