[論文レビュー] Structural aspects of loop quantum gravity and loop quantum cosmology from an algebraic perspective

Alexander Stottmeister, Thomas Thiemann|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 79被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、表現論的視点からループ量子重力（LQG）およびループ量子宇宙論（LQC）の代数的構造を調査し、LQGにおける非退化的背景幾何やLQCにおける動的に誘導されるスーパーセレクション領域が、中心拡張および場の代数拡張を通じて生じることを示している。また、量子場理論におけるθ真空とLQGとの間の関連を、チラル対称性の破れを用いて確立し、U(1)^N拡張を施した修正されたホロノミー・フラックス代数を用いて、表現の障害を解消している。

ABSTRACT

We comment on structural properties of the algebras $\mathfrak{A}_{LQG/LQC}$ underlying loop quantum gravity and loop quantum cosmology, especially the representation theory, relating the appearance of the (dynamically induced) superselection structure ($θ$-sectors) in loop quantum cosmology to recently proposed representations with non-degenerate background geometries in loop quantum gravity with Abelian structure group. To this end, we review and employ the concept of extending a given (observable) algebra with possibly non-trivial centre to a (charged) field algebra with (global) gauge group.We also interpret the results in terms of the geometry of the structure group G. Furthermore, we analyze the Koslowski-Sahlmann representations with non-degenerate background in the case of a non-Abelian structure group. We find that these representations can be interpreted from two different, though related, points view: Either, the standard algebras of loop quantum gravity need to be extended by a (possibly) central term, or the elementary flux vector fields need to acquire a shift related to the (classical) background to make these representations well-defined. Both perspectives are linked by the fact that the background shift is not an automorphism of the algebras, but rather an affine transformation. Finally, we show how similar algebraic mechanisms, which are used to explain the breaking of chiral symmetry and the occurrence of $θ$-vacua in quantum field theory, extend to loop quantum gravity. Thus, opening a path for the discussion of these questions in loop quantum gravity.

研究の動機と目的

• 代数的手法を用いて、ループ量子宇宙論（LQC）におけるスーパーセレクション領域（θ領域）の構造的起源を明確化すること。
• LQGにおける非退化的背景を持つコスルフスキー＝サハルマン表現が、代数的拡張を通じて一貫して実現可能であることを説明すること。
• 量子場理論におけるチラル対称性の破れおよびθ真空と、それらがLQGにおける対応物としてどのように類似しているかを確立すること。
• 標準LQG代数におけるコスルフスキー＝サハルマン表現の実現障害を、U(1)^N拡張を施した修正代数を導入することで解消すること。
• LQGにおけるゲージ異常および対称性カレントの役割を、特に半古典的極限および物質系において探求すること。

提案手法

• 動的に誘導されるスーパーセレクション領域をLQCにモデル化するため、グローバルゲージ群を伴う拡張場代数の枠組みを用いる。
• ホロノミー・フラックス代数の中心拡張の概念を用いて、LQGにおける非退化的背景幾何を解釈する。
• コスルフスキー＝サハルマン表現を実現するため、追加のU(1)^N因子を含む修正されたホロノミー・バックグラウンド・フラックス指数代数（AB_LQG）を導入する。
• 場の代数拡張の形式的枠組みを用いて、背景依存フラックスを自己同型ではなくアフィン変換に関連付ける。
• チラル対称性の破れおよびθ真空のモルキオ＝ストロッチメカニズムを、異常なチラルカレントを用いてLQGに適応する。
• 背景依存のシリンダ関数に伴うシフトフラックス演算子の役割と、それらの変換性を、コスルフスキー＝サハルマン表現の観点から分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LQCにおける動的に誘導されるスーパーセレクション領域（θ領域）は、基礎となる可観測量代数の代数的構造からどのように生じるか？
• RQ2 非退化的背景を持つコスルフスキー＝サハルマン表現が、LQGにおいて一貫して実現可能であるための代数的メカニズムは何か？
• RQ3 量子場理論におけるチラル対称性の破れおよびθ真空のメカニズムは、ループ量子重力の枠組みへ一般化可能か？
• RQ4 ホロノミー・フラックス代数にU(1)^N因子を導入することで、標準LQGにおけるコスルフスキー＝サハルマン表現の実現障害がどのように解消されるか？
• RQ5 背景依存のシリンダ関数およびそれに対応する背景指数関数は、標準LQG代数をどのように拡張するか？

主な発見

• LQCにおけるθ領域は、代数ALQCの中心に由来し、空間多様体の第一コhomology群の双対と同型である。
• アーベル構造群G ≅ U(1)^nを有するLQGにおける非退化的背景幾何は、ホロノミー・フラックス代数ALQGの中心拡張に対応する。
• コスルフスキー＝サハルマン表現は、代数に中心項を拡張するか、基本フラックス演算子をシフトすることで、LQGにおいて一貫して実現可能であり、両者の視点はアフィン変換によって結びつけられる。
• 標準ALQGにおけるコスルフスキー＝サハルマン表現の実現障害は、追加のU(1)^N因子を含む修正代数AB_LQGを導入することで解消され、表現が適切に定義可能になる。
• 量子場理論におけるチラル対称性の破れおよびθ真空のメカニズムは、異常なチラルカレントを仮定することでLQGに適応可能であり、量子重力におけるθパラメータの起源が可能性として示唆される。
• 量子場理論における異常を引き起こす対称性カレントは、LQGにおいて自然な類似物を有しており、特に物質系において、半古典的極限における異常構造がLQGに出現する可能性が示唆される。