[論文レビュー] Structure and asymptotics for Catalan numbers modulo primes using automata

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、RowlandとYassawiの自動機法を用いて、素数を法とするカタラン数を分析し、任意の素数 p に対して Cₙ ≡ 0 mod p を満たす添え字 n の漸近的密度が 1 であることを示している。Cₙ ≡ −1 mod p となるのは n = pᵏ − 1 のときであり、p が Cₙ を割る条件として、n ≡ d mod p かつ d ∈ { (p+1)/2, ..., p−2 } のときが成り立つ。p進自動機における状態遷移を用いて、構造的および密度的結果を導出している。

ABSTRACT

Let $C_n$ be the $n$th Catalan number. We show that the asymptotic density of the set $\{n: C_n \equiv 0 \mod p \}$ is $1$ for all primes $p$, We also show that if $n = p^k -1$ then $C_n \equiv -1 \mod p$. Finally we show that if $n \equiv \{ \frac{p+1}{2}, \frac{p+3}{2}, ..., p-2 \} \mod p$ then $p$ divides $C_n$. All results are obtained using the automata method of Rowland and Yassawi.

研究の動機と目的

• 有限自動機を用いて、素数を法とするカタラン数の分布を特徴づけること。
• Cₙ ≡ 0 mod p を満たす添え字 n の漸近的密度を特定すること。
• Cₙ が p で割り切れるかどうかを決定する、n の基数 p 展開における構造的パターンを同定すること。
• 既知のカタラン数の可除性に関する結果を、p ≥ 5 を満たすすべての素数にまで自動機ベースの計算を用いて拡張すること。

提案手法

• 多項式の遷移で定義される有限状態機械を用いて、Cₙ mod p をモデル化するため、RowlandとYassawiの自動機法を採用する。
• 自動機の状態の多項式表現から状態遷移を計算するために、Cartier作用素 Λ_{d,d} を用いる。
• 各状態を x と y の二変数多項式として表し、初期状態を R(x,y) = y(1 − 2xy − 2xy²) とする。
• 各桁 d ∈ {0, ..., p−1} に対して、Λ_{d,d}(s * Q^{p−1}) を評価することで遷移を計算する。ここで Q(x,y) = x(y+1)² − 1 である。
• 状態図を分析して、ループ状態、ゼロ状態、および基数 p 展開における禁止された桁のパターンを特定する。
• Cartier作用素の線形性を活用し、既知の基本ケースから定数値状態の遷移を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の素数 p に対して、集合 {n : Cₙ ≡ 0 mod p} の漸近的密度は何か？
• RQ2 n の基数 p 展開におけるどの桁のパターンがあるときに p が Cₙ を割るか？
• RQ3 n = pᵏ − 1 のとき、Cₙ mod p の値は何か？
• RQ4 自動機フレームワークを用いて、素数を法とするカタラン数の一般可除性規則を導出できるか？

主な発見

• すべての素数 p に対して、{n : Cₙ ≡ 0 mod p} の漸近的密度は 1 である。これは、ほとんどすべてのカタラン数が p で割り切れるということを意味する。
• n ≡ d mod p かつ d ∈ {(p+1)/2, (p+3)/2, ..., p−2} ならば、p は Cₙ を割る。
• n = pᵏ − 1 のとき、Cₙ ≡ −1 mod p である。これは p = 2 の場合に既知の結果を一般化するものである。
• 自動機におけるゼロ状態はループ状態であるため、一度到達すると、自動機はその状態に留まり続ける。これは、すべてのこのような n に対して Cₙ ≡ 0 mod p であることを示唆する。
• {(p+1)/2, ..., p−2} の桁を含まない基数 p 数の集合の漸近的密度は 0 である。これは、Cₙ ≡ 0 mod p がほとんどすべての n に対して成り立つ理由を説明する。
• Cₙ mod p の自動機は最大で p+3 個の状態を含み、常に存在する3つの固定多項式として、y(1−2xy−2xy²)、2xy(y+1)、および −(y+1) が存在する。