[論文レビュー] Sub-universal variational circuits for combinatorial optimization problems

Gal Weitz, Lirandë Pira+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、組合せ最適化問題（例：Max-Cut）を解くために2ビットの確率的行列を用いた古典的変分回路であるPAOA（Probabilistic Approximate Optimization Algorithm）を提案する。PAOAは、特に大きなグラフにおいてQAOAを上回る性能を示し、最小限のハイパーパrameterチューニングで高い近似比を達成しており、部分的にユニバーサルでない古典的回路が、量子優位性の主張に対する強力なベンチマークとして機能しうることを示唆している。

ABSTRACT

Quantum variational circuits have gained significant attention due to their applications in the quantum approximate optimization algorithm and quantum machine learning research. This work introduces a novel class of classical probabilistic circuits designed for generating approximate solutions to combinatorial optimization problems constructed using two-bit stochastic matrices. Through a numerical study, we investigate the performance of our proposed variational circuits in solving the Max-Cut problem on various graphs of increasing sizes. Our classical algorithm demonstrates improved performance for several graph types to the quantum approximate optimization algorithm. Our findings suggest that evaluating the performance of quantum variational circuits against variational circuits with sub-universal gate sets is a valuable benchmark for identifying areas where quantum variational circuits can excel.

研究の動機と目的

• QAOAのような量子変分回路を公平にベンチマーク化できる古典的アナログを構築すること。
• 部分的にユニバーサルでない古典的回路が、組合せ最適化問題において量子変分回路の性能を模倣または上回ることができるかを調査すること。
• 近い将来の応用に向け、実装可能で実用的な古典的代替手段を提供すること。
• 制限付きゲートセットを用いた変分回路の性能を評価し、量子優位性が現れる可能性のある分野を特定するためのプロキシとしての役割を検討すること。
• pビットおよび確率的回路が、量子ソリューションのコスト効率が良く、高性能な代替手段としての可能性を探索すること。

提案手法

• QAOAを模倣したが、完全に古典的確率空間内で動作するパラメトリック2ビット確率的行列に基づく古典的変分回路PAOAを提案する。
• pビット（0と1の混合を表す古典的確率的ビット）を用い、現在の技術で物理的実装が可能である。
• QAOAと同様に勾配ベース最適化を用いて回路パラメータを訓練し、公平な比較を実現する。
• モデル容量が最適化性能に与える影響を調査するために、パrameter数を制御した変種（Reduced PAOA, Min PAOA）を導入する。
• Erdős–RényiおよびBarabási–Albertネットワークを含む多様なグラフタイプにおいて、サイズを増加させながらMax-Cut問題にテストを実施する。
• 近似比を主な指標として、QAOA、ブルートフォース、ランダム推測、およびGoemans-Williamsonアルゴリズムと比較する。

Figure 1: Perspective on the relationship between three model classes considered in this work. Parameterized quantum circuits (PQCs) are the paradigm that represents the largest class of parameterized quantum algorithms. QAOA (Farhi et al. [ 4 ] ) is a popular example. PAOA represents a class of pro

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的にユニバーサルなゲートセットを用いた古典的変分回路が、組合せ最適化問題においてQAOAのような量子変分回路を上回ることができるか？
• RQ2 pビットを用いた古典的確率的回路は、近い将来の量子アルゴリズムの実装可能な代替手段として実現可能か？
• RQ3 モデルの深さとパラメータ数の増加が、Max-Cutに対する古典的変分回路の性能に与える影響は何か？
• RQ4 PAOAは、ランダム推測やSDP緩和よりも公平なベンチマークとして機能できるか？
• RQ5 同じトレーニングプロトコルを用いても、スケールが大きくなると量子と古典的変分回路の間に性能差が現れるのか？

主な発見

• 28ノードのErdős–Rényiグラフにおいて、Reduced PAOAは近似比0.89を達成し、QAOA（0.71–0.81）およびランダム推測（0.82）を上回った。
• 20ノードのErdős–Rényiグラフにおいて、Reduced PAOAは平均近似比0.88を達成し、QAOA（0.84–0.85）およびPAOA（0.80）を上回った。
• PAOAは、Barabási–Albertネットワークを含む多様なグラフタイプにおいて一貫した性能を示し、100ノードまでのグラフでランダム推測を常に上回った。
• 1層のMin PAOAは20ノードのErdős–Rényiグラフで0.83の近似比を達成し、最小限の複雑性で優れた性能を示した。
• QAOAは深さの増加に伴い性能が低下（例：6層で0.71）したが、PAOAの変種は性能を維持または向上させたことから、より良い最適化の局所的構造を持つことが示唆された。
• PAOAはハイパーパrameterチューニングなしで「即時に」高品質な結果を達成した一方、QAOAは性能を引き出すために最適化を要した。これは、PAOAのロバスト性を示している。

Figure 2: Illustrative example of the Max-Cut algorithms for a 3-node graph $G$ showing both QAOA and PAOA circuits. (Left) $H$ is the Hadamard gate and $p$ is the circuit depth (see Section III for the in-depth explanation). (Right) $R$ denotes a random initial state, and $P$ represents the probabi