[論文レビュー] Sum of squares lower bounds for refuting any CSP

Pravesh K. Kothari, Ryuhei Mori+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ランダムな制約充足問題（CSP）の反証における平方和（SOS）下界を確立し、述語 $P$ がその充足割り当て上に $t$-wise 一様分布を支持する場合、SOSアルゴリズムの次数 $\Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$ では、$\Delta \gg 1$ であっても、$\mathrm{CSP}(P)$ のランダムなインスタンスを反証できないことを示している。この結果は、制約密度、SOS次数（したがって実行時間）、反証強度の間のタイトな三重のトレードオフを示し、先行の下界を統合し、最近のアルゴリズム的上界と一致する。

ABSTRACT

Let $P:\{0,1\}^k o \{0,1\}$ be a nontrivial $k$-ary predicate. Consider a random instance of the constraint satisfaction problem $\mathrm{CSP}(P)$ on $n$ variables with $Δn$ constraints, each being $P$ applied to $k$ randomly chosen literals. Provided the constraint density satisfies $Δ\gg 1$, such an instance is unsatisfiable with high probability. The \emph{refutation} problem is to efficiently find a proof of unsatisfiability. We show that whenever the predicate $P$ supports a $t$-\emph{wise uniform} probability distribution on its satisfying assignments, the sum of squares (SOS) algorithm of degree $d = Θ(\frac{n}{Δ^{2/(t-1)} \log Δ})$ (which runs in time $n^{O(d)}$) \emph{cannot} refute a random instance of $\mathrm{CSP}(P)$. In particular, the polynomial-time SOS algorithm requires $\widetildeΩ(n^{(t+1)/2})$ constraints to refute random instances of CSP$(P)$ when $P$ supports a $t$-wise uniform distribution on its satisfying assignments. Together with recent work of Lee et al. [LRS15], our result also implies that \emph{any} polynomial-size semidefinite programming relaxation for refutation requires at least $\widetildeΩ(n^{(t+1)/2})$ constraints. Our results (which also extend with no change to CSPs over larger alphabets) subsume all previously known lower bounds for semialgebraic refutation of random CSPs. For every constraint predicate~$P$, they give a three-way hardness tradeoff between the density of constraints, the SOS degree (hence running time), and the strength of the refutation. By recent algorithmic results of Allen et al. [AOW15] and Raghavendra et al. [RRS16], this full three-way tradeoff is \emph{tight}, up to lower-order factors.

研究の動機と目的

• 制約充足問題（CSP）のランダムインスタンスに対する平方和（SOS）ハイアラルキーの限界を理解すること。
• 基礎となる述語 $P$ の構造的性質に基づいて、ランダムCSPを反証するのに必要なSOSの最小次数を特定すること。
• 制約密度 $\Delta$、SOS次数 $d$、反証の強度（$\delta$-反証を含む）の間のタイトな三重のトレードオフを確立すること。
• 既存のランダムCSPにおけるSOS下界を統一的かつ一般化し、1つの述語固有のフレームワークに統合すること。

提案手法

• 著者たちは、充足割り当てに高い値を割り当てるが、すべての低次のモーメント制約を満たす疑似期待値を構築することで、SOSアルゴリズムのランダムCSP反証能力を分析している。
• 彼らは、述語 $P$ の充足割り当ての分布における $t$-wise 一様性の概念を定義し、解空間の対称性と構造を捉えている。
• 割り当て上の疑似分布の確率的構成を用いて、$P$ がその充足割り当て上で $t$-wise 一様分布を支持するならば、SOSアルゴリズムはランダムインスタンスを反証できないことを示している。
• 主な技術的ツールは、要因グラフ内の部分グラフの収益に基づく分析であり、反証を破壊する可能性のある小さな非空の $\tau$-部分グラフの数を制限している。
• 収益 $R(H)$ と独立性 $I(H)$ を基にしたクレジット制度を用いて、近傍閉包が即時の近傍を超過する制約の数の上限を導出している。
• 最終的に、疑似期待値下で満たされる制約の割合が $1 - \delta - \epsilon$ 以上であることが示され、ここで $\epsilon = 2^{\log n / (2 \log \Delta)} / \sqrt{n}$ であるため、$(\delta + o(1))$-反証に失敗することが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた述語 $P$ を持つランダムCSPインスタンスを反証するのに必要なSOSの最小次数は何か？
• RQ2 $P$ の充足割り当ての構造的対称性（$t$-wise 一様性で測定）は、反証の難易度にどのように影響するか？
• RQ3 $P$ が $t$-wise 一様分布を $\delta$-近傍で支持する場合、SOSアルゴリズムはランダムCSPに対して $\delta$-反証を達成できるか？
• RQ4 制約密度 $\Delta$、SOS次数 $d$、反証強度 $\delta$ の間にはタイトな三重のトレードオフが存在するか？
• RQ5 これらのSOS下界は、反証に関して既知の最良のアルゴリズム的上界と比べてどうなるか？

主な発見

• 任意の非自明な $k$-アリティ述語 $P$ がその充足割り当て上で $t$-wise 一様分布を支持する場合、次数 $d = \Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$ のSOSアルゴリズムは、$\Delta n$ 個の制約を持つ $\mathrm{CSP}(P)$ のランダムインスタンスを反証できない。
• 多項式時間のSOSアルゴリズムは、$P$ が $t$-wise 一様分布を支持する場合、$\widetilde{\Omega}(n^{(t+1)/2})$ 個の制約を必要とする。
• $P$ が $t$-wise 一様分布を $\delta$-近傍で支持する場合、次数 $\Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$ のSOSアルゴリズムは、ランダムインスタンスに対して $(\delta + o(1))$-反証を達成できない。
• 下界は、最近のアルゴリズム的結果により、同じ三重のトレードオフが効率的なアルゴリズムによって達成可能であることが示されているため、低次の要因を除いてタイトである。
• この結果は、パrameterに変更なしに、アルファベットがより大きなCSPに対しても拡張可能であり、適切なリテラルの一般化を用いる。
• 本研究は、反証のための任意の多項式サイズの半定値プログラミング緩和についても、同様に $\widetilde{\Omega}(n^{(t+1)/2})$ 個の制約を必要とすることを示唆している。