[論文レビュー] Symmetry-resolved Entanglement Entropy, Spectra & Boundary Conformal Field Theory

Yuya Kusuki, Sara Murciano+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2023

Physics of Superconductivity and MagnetismPhysics and Astronomy参考文献 120被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限またはコンパクトなリー群の対称性をもつ1+1次元CFTにおいて、対称性に分解されたエンタングルメントーエントロピー（SREE）を計算するための包括的な境界 conformal field theory（CFT）フレームワークを提示する。2つの異なる手法——対称性デフォルト線の作用によるチャージドモーメントと、オルビフォルトCFT双対性——を導入し、普遍的な一次のSREEおよびその最初の補正項を導出し、エンタングルメント等分配の破れを明示的に示す。タウバー型形式を用いて、対称性に分解されたエンタングルメントスペクトルの厳密な境界を確立し、アーベルの場合には正確な一致を示す。

ABSTRACT

We perform a comprehensive analysis of the symmetry-resolved (SR) entanglement entropy (EE) for one single interval in the ground state of a $1+1$D conformal field theory (CFT), that is invariant under an arbitrary finite or compact Lie group, $G$. We utilize the boundary CFT approach to study the total EE, which enables us to find the universal leading order behavior of the SREE and its first correction, which explicitly depends on the irreducible representation under consideration and breaks the equipartition of entanglement. We present two distinct schemes to carry out these computations. The first relies on the evaluation of the charged moments of the reduced density matrix. This involves studying the action of the defect-line, that generates the symmetry, on the boundary states of the theory. This perspective also paves the way for discussing the infeasibility of studying symmetry resolution when an anomalous symmetry is present. The second scheme draws a parallel between the SREE and the partition function of an orbifold CFT. This approach allows for the direct computation of the SREE without the need to use charged moments. From this standpoint, the infeasibility of defining the symmetry-resolved EE for an anomalous symmetry arises from the obstruction to gauging. Finally, we derive the symmetry-resolved entanglement spectra for a CFT invariant under a finite symmetry group. We revisit a similar problem for CFT with compact Lie group, explicitly deriving an improved formula for $U(1)$ resolved entanglement spectra. Using the Tauberian formalism, we can estimate the aforementioned EE spectra rigorously by proving an optimal lower and upper bound on the same. In the abelian case, we perform numerical checks on the bound and find perfect agreement.

研究の動機と目的

• 1+1次元の共形場理論（CFT）におけるグローバル対称性をもつ系の、対称性に分解されたエンタングルメントーエントロピー（SREE）を計算するための普遍的フレームワークの構築。
• 非アーベル的およびコンパクトな対称性が存在する状況において、エンタングルメントが対称性セクターに等しく分配されているか（等分配）という長年の問いに答えること。
• SREEとオルビフォルトCFTの分配関数との間の厳密な関係を確立し、チャージドモーメントに依存せずに直接計算可能であるようにすること。
• 特にアーベル群およびU(1)対称性に対して、タウバー型形式を用いて対称性に分解されたエンタングルメントスペクトルの正確な境界を導出すること。
• 異常対称性がSREEの定義を妨げる理由を明らかにし、その原因が対称性のゲージ化が不可能であることと関連していることの解明。

提案手法

• 境界CFT技術を用いて全エンタングルメントーエントロピーを計算し、ねじれた境界状態を介して対称性に分解された成分を抽出する。
• 縮約密度行列のチャージドモーメントを用い、対称性デフェクトラインが境界状態に及ぼす作用を分析することでSREEを計算する。
• SREEとオルビフォルトCFTの分配関数との間の双対性を確立し、中間段階のチャージドモーメントの評価を回避してSREEを直接計算可能にする。
• twisted Cardy構成を用いてω-ねじれた境界状態を定義し、モジュラーS行列とツイニングキャラクターを用いて、開-閉双対性下での整合性を保証する。
• タウバー型形式を適用し、特にアーベル群に対して、対称性に分解されたエンタングルメントスペクトルの最良の下界および上界を導出する。
• 安定化子条件と群の既約表現への作用を用いて、どの表現がSREEに寄与するかを制限し、特に異常対称性の状況でその寄与を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元CFTにおいて、有限またはコンパクトなリー群の対称性をもつ場合、対称性に分解されたエンタングルメントーエントロピー（SREE）はどのように振る舞い、その普遍的な一次の形は何か？
• RQ2 対称性群の既約表現に across してエンタングルメントがどの程度等分配されているか。また、補正項がその等分配をどのように破るか？
• RQ3 SREEはオルビフォルトCFT双対性を用いて直接計算可能か。チャージドモーメントの必要性を回避できるか？
• RQ4 異常対称性がSREEの定義を妨げる正確な役割は何か。これは、対称性のゲージ化が不可能であることとどのように関連しているか？
• RQ5 どのようにすれば、対称性に分解されたエンタングルメントスペクトルを厳密に境界づけられるか。特にアーベルの場合、その境界の正確さはどの程度か？

主な発見

• 任意の有限またはコンパクトリー群Gに対して、SREEの普遍的な一次の挙動が導出され、エンタングルメントの等分配が破れる、既約表現に依存する最初の補正項が明示的に得られる。
• U(1)対称性の場合、既存の文献における結果を一般化した、対称性に分解されたエンタングルメントスペクトルの改善された公式が導出される。
• タウバー型形式により、対称性に分解されたエンタングルメントスペクトルの厳密な最良の下界および上界が得られ、アーベルの場合には数値的に完全に一致する。
• チャージドモーメントとオルビフォルト双対性の2つのアプローチが等価な結果をもたらし、後者は中間段階のチャージドモーメント評価を回避する直接的なSREE計算ルートを提供する。
• 異常対称性はSREEの定義を妨げ、これはゲージ化が不可能であることに起因する。この障害は、オルビフォルトアプローチにおけるねじれたCardy条件の不成立と等価であることが示される。
• 本稿では、ω-ねじれた境界状態に寄与するのは、群元ωの作用で固定される表現（すなわちλ ∈ I(ω)）に限られることを確立し、モジュラー不変性と整合的であることを保証する。