[論文レビュー] Boundary conditions and anomalies of conformal field theories in 1+1 dimensions

Linhao Li, Chang-Tse Hsieh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2022

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 79被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、1+1次元の conformal field theories (CFT) における conformally invariant な境界条件と異常性の対応関係を、renormalization group flow を通じて境界条件を誘導する対称的な gapping potential を分析することによって確立する。対称的境界状態の存在は異常なしの対称性を示し、分配関数における degeneracy は異常性を示す。この手法により、自由なコンパクトなボソン、WZW モデル、最小モデルにおける異常なし条件を体系的に特定できる。

ABSTRACT

We study a relationship between conformally invariant boundary conditions and anomalies of conformal field theories (CFTs) in 1+1 dimensions. For a given CFT with a global symmetry, we consider symmetric gapping potentials which are relevant perturbations to the CFT. If a gapping potential is introduced only in a subregion of the system, it provides a certain boundary condition to the CFT. From this equivalence, if there exists a Cardy boundary state which is invariant under a symmetry, then the CFT can be gapped with a unique ground state by adding the corresponding gapping potential. This means that the symmetry of the CFT is anomaly free. Using this approach, we systematically deduce the anomaly-free conditions for various types of CFTs with several different symmetries. They include the free compact boson theory, Wess-Zumino-Witten models, and unitary minimal models. When the symmetry of the CFT is anomalous, it implies a Lieb-Schultz-Mattis type ingappability of the system. Our results are consistent with, where available, known results in the literature. Moreover, we extend the discussion to other symmetries including spin groups and generalized time-reversal symmetries.

研究の動機と目的

• 1+1次元 CFT における conformally invariant な境界条件と異常性の間の関係を確立すること。
• 対称的境界状態の存在を分析することにより、CFT におけるグローバル対称性が異常なしであるかどうかを特定すること。
• 自由なコンパクトなボソン、WZW モデル、最小モデルを含むさまざまな CFT における異常なし対称性を特定する体系的メソッドを提供すること。
• スピン群や時間反転対称性を含む一般化された対称性への分析を拡張すること。
• 対称的摂動のもとで一意な gapped 基底状態に到達できないことは、異常性を示しており、これはボリューム SPT 階層の障害と整合的であることを示すこと。

提案手法

• 有限な区間の外側でのみ作用する空間的に依存する有効な摂動（gapping potential）を導入し、界面で conformal な境界条件を誘導する。
• renormalization group flow を用いて、得られる境界 CFT (BCFT) における conformal な境界条件に対応する固定点を同定する。
• gapped 階段における基底状態の一意性を、分配関数における単位演算子の多重度に結びつける。単位演算子が正確に一度だけ現れる必要がある。
• 一意な基底状態が、グローバル対称性に関して不変な対称的境界状態の存在に相当することを確立する。
• CFT における境界状態の既知の構成法（例：SU(2)₁ WZW モデル）を用いて、対称性の不変性を体系的に検証し、異常性を検出する。
• BCFT フレームワークを用いて、標準的な gapping potential を超えて、T-duality や時間反転対称性を含む一般化された対称性における異常性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元 CFT にグローバル対称性がある場合、どのような条件下で一意な基底状態を持つ gapped 状態にできるか？
• RQ2 BCFT における対称的境界状態の存在は、元の CFT の異常状態とどのように関係するか？
• RQ3 自由なコンパクトなボソン理論、WZW モデル、ユニタリ最小モデルにおいて、さまざまなグローバル対称性のもとで異常なし条件は何か？
• RQ4 スピン群や時間反転対称性を含む一般化された対称性は、境界状態法を用いてどのように異常性について分析できるか？
• RQ5 対称的境界条件の下で分配関数に degeneracy が生じるのはなぜであり、それが異常性および gappability の欠如を示唆するのか？

主な発見

• BCFT における対称的境界状態の存在は、対応する CFT が一意な基底状態を持つ gapped 状態にできるということを示し、これは対称性が異常なしであることを示している。
• SU(2)₁ WZW モデルにおいて、境界状態アプローチにより、標準的な Haldane の零摂動を超える対称的 gapping potential が特定され、T-duality における異常なしの振る舞いを確認した。
• この手法により、WZW モデルにおける時間反転対称性の下での異常性が検出され、このような対称性は縮退した基底状態を生じさせ、したがって異常であることが示された。
• 解析により、異常なグローバル対称性をもつ CFT は、対称性を保存したまま一意な基底状態に一貫して gapped にできないことが確認された。これは、ボリューム SPT 階層の障害と整合的である。
• L→0 の極限における分配関数の単位演算子の多重度は、基底状態の縮退度を直接測定する。多重度が1であることは一意な基底状態を示している。
• このアプローチは、最小モデルや自由なコンパクトなボソンにおける既知の異常条件を体系的に再現し、文献と整合的で一般性を有することを検証した。