[論文レビュー] Termination of LCTRSs

Cynthia Kop|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Semantic Web and Ontologies参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、標準的な項書き換えから論理制約付き項書き換え系（LCTRS）へ依存関係ペアのアプローチを拡張し、任意の理論を用いた制約付き書き換えの終了証明を可能にする。還元対や依存関係ペアプロセッサといったコア技術がLCTRSに自然に拡張されることを示し、制約の妥当性はSMTソルバを用いて検証する。また、アッカーマン関数や有界反復といった例において有効性を示している。

ABSTRACT

Logically Constrained Term Rewriting Systems (LCTRSs) provide a general framework for term rewriting with constraints. We discuss a simple dependency pair approach to prove termination of LCTRSs. We see that existing techniques transfer to the constrained setting in a natural way.

研究の動機と目的

• 項書き換えと任意の論理的制約を組み合わせたLogically Constrained Term Rewriting Systems (LCTRS) における依存関係ペアフレームワークの拡張。
• 制約なしの項書き換えから得られるコアの終了技術（還元対や依存関係ペアプロセッサなど）を制約付きの設定に適応すること。
• 制約の妥当性検証にSMTソルバを統合することで、命令型プログラムの自動終了解析を可能にすること。
• 今後の拡張の基盤を築くこと。具体的には、内側終了、非終了、結合性および関数同等性ツールへの統合を想定する。

提案手法

• 定義済み記号の呼び出しに新しい型 'dpsort' を導入し、右辺の各定義済み部分項に対してペアを生成することで、LCTRSにおける依存関係ペアを導入する。
• $(\succsim, \succ)$ を還元対と定義し、$\succsim$ を適合関係、$\succ$ を厳密順序とする。両者を制約と論理的項を含む設定に拡張する。
• 整数上の多項式解釈を用いて依存関係ペアを向き付ける。すべての変数値割り当て $\alpha$ に対して $s \succ t$ が $\overline{\mu}_\alpha(s) > \max(0, \overline{\mu}_\alpha(t))$ を満たす場合に成立する。
• SMTソルバを用いて規則および依存関係ペアにおける制約の妥当性を検証し、終了証明の実用的自動化を実現する。
• 鎖状処理法と制約の簡略化を用いて、制約付き設定における依存関係ペアプロセッサを強化する。
• すべての依存関係ペアが還元対と適合しており、かつ依存関係グラフがサイクルを含まないならば、元のシステムは終了するという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 依存関係ペアのアプローチは、任意の論理的制約を有するLCTRSに自然に拡張可能か？
• RQ2 還元対は、LCTRSにおける制約と論理的項を扱うためにどのように適応可能か？
• RQ3 SMTソルバは、LCTRSの終了証明における制約の妥当性検証をどの程度自動化できるか？
• RQ4 既存の終了技術（例：使用可能な規則、鎖状処理）は制約付き設定に適応可能か？
• RQ5 制約処理の影響は、LCTRSにおける終了解析の表現力および自動化にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 標準的なTRSにおける依存関係ペアフレームワークはLCTRSに自然に拡張可能であり、鎖の自由性や還元対との適合性といった重要な性質を保持する。
• 多項式解釈はLCTRSにおける依存関係ペアの向き付けに効果的に機能する。有界和関数の例では $\mu(\mathsf{sum}) = \lambda nm.m - n + 1$ が $x \leq y$ の下で向き付けを保証する。
• 制約の妥当性はSMTソルバを用いて検証され、一般には決定不能であるが、実用的である。
• アッカーマン関数にオーバーフロー制約を含む複雑な例にも対応でき、命令型プログラム解析への適用可能性を示している。
• 依存関係グラフと値基準だけでは一部のケースで不十分であるが、還元対により解決可能である。和の例では、他の手法では適用できないが還元対により処理可能である。
• このフレームワークは拡張可能であり、LCTRSへの変換により命令型プログラムの終了解析を自動化するツールの基盤を提供する。