[論文レビュー] The Abelian-Nonabelian Correspondence for $I$-functions

Rachel Webb|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、再帰的群 $G$ 及びその最大トーラス $T$ の GIT 商 $Z//G$ と $Z//T$ の小 $I$-関数の関係を明示的な公式により確立することで、クェーシマップ $I$-関数におけるアーベル-非アーベル対応を確立する。主な結果は、$Z//T \dashrightarrow Z//G$ の有理写像を通じた $Z//G$ 上の $I$-関数の引き戻しを、曲線類のリフトの和として、チェーン類の積で重み付けした形で表現しており、グラスマン多様体に付随するバンドルやカルラビ＝ヤウ超曲面の $J$-関数の計算を可能にする。

ABSTRACT

We prove the abelian-nonabelian correspondence for quasimap $I$-functions. That is, if $Z$ is an affine l.c.i. variety with an action by a complex reductive group $G$, we prove an explicit formula relating the quasimap $I$-functions of the GIT quotients $Z//_θ G$ and $Z//_θ T$ where $T$ is a maximal torus of $G$. We apply the formula to compute the $J$-functions of some Grassmannian bundles on Grassmannian varieties and Calabi-Yau hypersurfaces in them.

研究の動機と目的

• アフィンな l.c.i. 多様体 $Z$ に再帰的群が作用する場合の、$Z//G$ と $Z//T$ のクェーシマップ $I$-関数の正確な対応を確立すること。
• 特に $I$-関数の文脈において、アーベル-非アーベル対応を等変およびねじれた理論へ拡張すること。
• グラスマン多様体に付随するバンドルおよびグラスマン多様体内のカルラビ＝ヤウ超曲面の $J$-関数の計算フレームワークを提供すること。
• [IIM17] の暫定的結果を、クェーシマップ設定下での $I$-関数対応を厳密に証明することで完成させること。

提案手法

• 曲線類 $\beta$ のリフト $\tilde{\beta} \in \operatorname{Hom}(\operatorname{Pic}^T(Z),\mathbb{Z})$ の和として、$g^*I^{Z//G}_\beta(z)$ を表す公式を導出する。
• $G$ の根 $\rho$ 全体にわたる、無限積のチェーン類 $c_1(\mathscr{L}_\rho) + kz$ の比の積を用いて、$Z//T$ と $Z//G$ 上の $I$-関数を関連付ける。
• 命題 4.0.1 を用いて、$\mathbb{P}^1$ から $[Z/G]$ および $[Z/T]$ へのクェーシマップのモジュライ空間の幾何を分析し、固定点集合と評価写像を同定する。
• $[CKS08]$ の再構成結果および $[CK14]$ のミラー定理を適用し、射影的ファノ商に対する完全なアーベル-非アーベル対応を導出する。
• 安定ゲージ写像およびクェーシマップの理論を用いて、特に $Z$ がベクトル空間の場合の等変およびねじれた $I$-関数を扱う。
• $I$-有効性の検証と固定点集合 $F_{\tilde{\beta}}(Z//G)$ の構造の分析を通じて、グラスマン多様体上のグラスマン多様体バンドルに対する明示的 $I$-関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル商 $Z//G$ のクェーシマップ $I$-関数は、そのアーベル化 $Z//T$ の $I$-関数をどのように表現できるか？
• RQ2 クェーシマップ設定下でのアーベル-非アーベル対応において、$Z//G$ と $Z//T$ の $I$-関数を結ぶ明確な公式は何か？
• RQ3 $I$-関数対応が、 genus-zero のグロモフ＝ミラー不変量に対して完全なアーベル-非アーベル対応を意味する条件は何か？
• RQ4 $I$-関数対応はどのように等変およびねじれた理論へ拡張できるか？
• RQ5 $I$-関数公式は、グラスマン多様体に付随するバンドルおよびグラスマン多様体内のカルラビ＝ヤウ超曲面の $J$-関数の計算に利用可能か？

主な発見

• 本稿は定理 1.1.1 を証明し、$g^*I^{Z//G}_\beta(z)$ がリフト $\tilde{\beta}$ の和とチェーン類比の積を用いて表現されることを示しており、$Z//G$ の $I$-関数が $Z//T$ のそれから完全に決定されることを示している。
• $Z$ がベクトル空間の場合、主定理と $[CCK15, Thm 5.4]$ で既知の $Z//T$ の $I$-関数公式を組み合わせることで、$I^{Z//G}_\beta(z)$ の閉形式表現が得られる。
• 等変およびねじれたバージョンの $I$-関数対応は、系 6.1.1 および 6.2.1 で確立されており、より広範な幾何的設定への拡張が可能である。
• $Z$ がベクトル空間の場合、$Z//G$ の大きな $I$-関数が構成され、$Gr(k,n)$ のようなグラスマン多様体の $I$-関数の明示的公式が回復される（系 6.3.1 参照）。
• 本手法により、グラスマン多様体上のグラスマン多様体バンドルに対する等変ねじれた小 $J$-関数の明示的計算が可能となり、定理 6.5.1 で示されている。
• 固定点集合 $F_{\tilde{\beta}}(Z//G)$ の幾何が完全に記述されており、$Z^s(G)/P_{\tilde{\alpha}}$ 上のフラッグバンドルへの閉埋め込みとして与えられ、$I$-関数の計算に不可欠である。