[論文レビュー] The Betti map associated to a section of an abelian scheme (with an appendix by Z. Gao)

Yves André, Pietro Corvaja+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、アーベル多様体の族における切断のベッチ写像と、収縮されたコーダイラ-スキンマップのランクとの間の明確な関係を確立し、自然な条件下—例えば非自明な自己準同型がなく、モジュライ空間における像の次元が ≥ g である—において、ベッチ写像が一般に部分多様体写像であることを証明する。このことは、捩れ値が底空間においてザリスキー密であること、つまりアーベル多様体に対するジルバー＝ピンク予想の重要なケースが確認されることを意味する。

ABSTRACT

Given a point $ξ$ on a complex abelian variety $A$, its abelian logarithm can be expressed as a linear combination of the periods of $A$ with real coefficients, the Betti coordinates of $ξ$. When $(A, ξ)$ varies in an algebraic family, these coordinates define a system of multivalued real-analytic functions. Computing its rank (in the sense of differential geometry) becomes important when one is interested about how often $ξ$ takes a torsion value (for instance, Manin's theorem of the kernel implies that this coordinate system is constant in a family without fixed part only when $ξ$ is a torsion section). We compute this rank in terms of the rank of a certain contracted form of the Kodaira-Spencer map associated to $(A, ξ)$ (assuming $A$ without fixed part, and $\mathbb{Z} ξ$ Zariski-dense in $A$), and deduce some explicit lower bounds in special situations. For instance, we determine this rank in relative dimension $\leq 3$, and study in detail the case of jacobians of families of hyperelliptic curves. Our main application, obtained in collaboration with Z. Gao, states that if $A o S$ is a principally polarized abelian scheme of relative dimension $g$ which has no non-trivial endomorphism (on any finite covering), and if the image of $S$ in the moduli space $\mathcal{A}_g$ has dimension at least $g$, then the Betti map of any non-torsion section $ξ$ is generically a submersion, so that $ξ^{-1}A_{tors}$ is dense in $S(\mathbb{C})$.

研究の動機と目的

• アーベル多様体族における切断のベッチ座標の変動を理解すること。
• 族の幾何的不変量を用いて、ベッチ写像の一般ランクを決定すること。
• 非捩れ切断の捩れ値が底空間においてザリスキー密であるような条件を確立すること。
• アックス＝シャナウエルの定理を用いて、ジルバー＝ピンク予想の文脈における密度結果を証明すること。

提案手法

• ベッチ写像は、アーベル多様体の複素均一化における切断の像の実解析的.liftとして定義される。
• ベッチ写像の一般ランクは、コーダイラ-スキンマップの収縮形のランクによって計算される。
• ガウス＝ミンコフスキー接続の理論と微分幾何的道具を用いて、ベッチ写像とホッジ構造の変動を関連付ける。
• シムーラ多様体の文脈でアックス＝シャナウエルの定理を適用し、二重代数的閉包の次元を制御する。
• 解析をハイパーオーバル曲線のヤコビアンおよび自明な自己準同型環をもつアーベル多様体族に特化する。
• 主要な技術的道具は、対数的アックス定理とシーゲル上半空間内の弱く特別な部分多様体の使用である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非捩れ切断のベッチ写像が、一般に部分多様体写像である条件は何か？
• RQ2 固定部分を持たない族において、ベッチ写像のランクはコーダイラ-スキンマップの幾何にどのように関係するか？
• RQ3 切断の捩れ値の集合が底多様体においてザリスキー密であるのはいつか？
• RQ4 アーベル多様体のモジュライ空間における切断の二重代数的閉包の正確な次元は何か？
• RQ5 アックス＝シャナウエルの定理をどのように応用して、モジュライ像の次元が大きい族における捩れ点の密度を証明できるか？

主な発見

• アーベル多様体族に非自明な自己準同型がなく、底空間のモジュライ空間への像の次元が g 以上であるとき、ベッチ写像は一般に部分多様体写像である。
• 相対次元 ≤ 3 の場合、ベッチ写像の一般ランクは明示的に計算され、与えられた仮定のもとで最大であることが示される。
• ハイパーオーバル曲線のヤコビアンの場合、コーダイラ-スキンマップとホッジ理論の明示的解析により、ベッチ写像のランクが特定される。
• モジュライ像の次元が ≥ g であり、自己準同型環が自明であるとき、非捩れ切断の捩れ値は底空間においてザリスキー密である。
• 切断の二重代数的閉包が弱く特別な部分多様体であることが示され、アックス＝シャナウエルの定理を用いてその次元が制御される。
• 証明は、底空間におけるホッジ一般点の二重代数的閉包が、完全に弱く特別な部分多様体であることを示すことに依拠しており、ムムフォード＝タイト群の正規性と単純性が用いられる。