[論文レビュー] The cohomology of the moduli space of abelian varieties

Gerard van der Geer|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 51被引用数 6

ひとこと要約

本調査は、主に極小化されたアーベル・多様体のモジュライ空間のコホモロジーを調査し、トロイコロジカル・リング、分割（エーケルダル・オールデンを含む）、微分形式、そしてシーゲル・モジュラー形式との関係に焦点を当てる。有限体上の曲線の数え上げを用いた新規な手法を提示し、ヘッケ固有値のトレースを計算することで、ジェノス1、2、3のモジュラー形式間の合同関係の数値的検証が可能となり、新たなリフトや算術的関係の予測がなされる。

ABSTRACT

This is a survey on various aspects of the cohomology of the moduli space of abelian varieties

研究の動機と目的

• 主に極小化されたアーベル多様体のモジュライ空間のコホモロジーと、算術および幾何学的性質との関係を調査すること。
• この文脈において、トロイコロジカル・リングおよびエーケルダル・オールデン分割のサイクル類を分析すること。
• 有限体上の種数≤3の曲線の数え上げと関連するヘッケ固有値トレースを結びつける計算フレームワークを確立すること。
• 既知のジェノス2および3におけるモジュラー形式間の合同関係を、より高いジェノスおよびレベル構造へと拡張すること、特にジェノス2および3に関して。
• 局所システムのコホモロジーとシーゲル・モジュラー形式との関係に関する、仮説の提示と検証を行うこと。

提案手法

• 著者たちは、有限体上の種数g ≤ 3の曲線のモジュライ空間を用い、シーゲル・モジュラー形式空間上のヘッケ作用素のトレースを計算する。
• 彼らは、局所システムのオイラー特性とモジュライスタック上の有理点の数の間の推測的割合の原則を適用する。
• この手法は、有限体F_q上の種数1、2、3の曲線の数え上げに依拠し、モジュライ空間A_gのコホモロジカル不変量を決定する。
• ジェノス2および3に関しては、トロイコロジカル・マップとスタック構造を用いてM_gからA_gへのコホモロジー的関係を確立し、曲線の数え上げによるコホモロジー計算を可能にする。
• このアプローチは、A_2にレベル2構造を拡張し、Sp(4,Z/2Z) ≅ S_6が6個のヴァイエルシュトラス点を持つ曲線のモジュライに作用することを用いる。
• 理論的予測は、計算されたトレースを用いて数値的に検証され、異なるジェノス間のヘッケ作用素の固有値の間で観察された合同関係が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、有限体上の算術的数え上げを用いて、主に極小化されたアーベル多様体のモジュライ空間のコホモロジーを計算できるか？
• RQ2 A_gのトロイコロジカル・リングとエーケルダル・オールデン分割のサイクル類との正確な関係は何か？
• RQ3 有限体上の曲線の数え上げから得られる数値的データは、異なる重みおよびジェノスのシーゲル・モジュラー形式のヘッケ固有値間の合同関係を予測・検証できるか？
• RQ4 A_g上の局所システムのコホモロジー群は、モジュライ空間の幾何学およびモジュラー形式とどのように関係するか？
• RQ5 トロイコロジカル・マップは、特にジェノス3において、M_gからA_gへのコホモロジカル・データの転送において果たす役割は何か？

主な発見

• ジェノス2において、A_2[2]上の局所システムV_{4,2}のコホモロジーはe_c = -45L^3 + 45 - S[Γ_2[2],(2,5)]として計算され、ヘッケ作用素のトレース計算が可能になった。
• 重み(2,5)のΓ_2[2]上のシーゲル・モジュラー形式に対して、ヘッケ固有値λ(23) = -323440が、数え上げ手法を用いて数値的に検証された。
• ジェノス3において、オイラー特性e_c(A_3, V_{10,4,0}) = -L^7 + L + S[6,8]が計算され、S[6,8]はジェノス2の場合と一致した。
• コホモロジーe_c(A_3, V_{8,4,4}) = -S[12]L^6 + S[12] + S[4,0,8]は、重み(4,0,8)の真正のシーゲル・モジュラー形式の存在を示した。
• 有限体上の曲線の数え上げから得られる数値的データは、ジェノス1からジェノス2およびジェノス1からジェノス3へのモジュラー形式のリフトの存在を支持する。
• p ≤ 37に対して、λ(p) ≡ p^8 + a(p) + p^13 (mod 41)のような合同関係が数値的に検証され、古典的合同関係τ(p) ≡ p^11 + 1 (mod 691)の拡張が得られた。