[論文レビュー] The Computational Complexity of Ball Permutations

Scott Aaronson, Adam Bouland+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、区別可能な粒子（玉）の置換に基づく量子および古典的モデルの計算複雑性を調査し、標準基底状態入力における量子玉置換モデルが DQC1 に含まれることを示している—これは、普遍的でない能力を示しており、弱い計算能力であることを示唆している。一方、特定の入力状態では、符号化計算を介して BQP の普遍性を達成する。制限された、可解性を持つバージョンは後選択（postselection）に関して普遍的となり、これが有効に古典的にシミュレート可能であれば、計算階層が崩壊することを示唆する。

ABSTRACT

Inspired by connections to two dimensional quantum theory, we define several models of computation based on permuting distinguishable particles (which we call balls), and characterize their computational complexity. In the quantum setting, we find that the computational power of this model depends on the initial input states. More precisely, with a standard basis input state, we show how to approximate the amplitudes of this model within additive error using the model DQC1 (the class of problems solvable with one clean qubit), providing evidence that the model in this case is weaker than universal quantum computing. However, for specific choices of input states, the model is shown to be universal for BQP in an encoded sense. We use representation theory of the symmetric group to partially classify the computational complexity of this model for arbitrary input states. Interestingly, we find some input states which yield a model intermediate between DQC1 and BQP. Furthermore, we consider a restricted version of this model based on an integrable scattering problem in 1+1 dimensions. We show it is universal under postselection, if we allow intermediate destructive measurements and specific input states. Therefore, the existence of any classical procedure to sample from the output distribution of this model within multiplicative error implies collapse of polynomial hierarchy to its third level. Finally, we define a classical version of this model in which one can probabilistically permute balls. We find this yields a complexity class which is intermediate between L and BPP. Moreover, we find a nondeterministic version of this model is NP-complete.

研究の動機と目的

• 1 次元系における区別可能な粒子（玉）の置換に基づく量子および古典的モデルの計算複雑性を同定すること。
• 初期量子状態の選択が玉置換モデルの計算能力に与える影響を調査すること。
• 特に 1+1 次元での可解的散乱に基づく制限されたモデル—後選択下で普遍的量子計算を達成するかを同定すること。
• 古典的確率的および非決定的バージョンの玉置換モデルを定義・分析し、それらの複雑性クラスを特定すること。

提案手法

• 2 粒子部分スワップゲートが n 個の区別可能な玉の置換に作用する量子モデルを形式化し、|x,y⟩ → c|x,y⟩ + is|y,x⟩ と定義する。ここで c² + s² = 1 である。
• 対称群 Sₙ の表現論を用いて、ヒルベルト空間 ℂSₙ を既約表現（irreps）に分解し、玉置換ゲートがこれらの部分空間に与える作用を分析する。
• ブリッジ補題および分岐則を用いて、特に 2 行または 2 列のヤン図式に対応する既約表現における、ゲートによって生成されるユニタリ群を研究する。
• 可解的 1+1 次元散乱に基づく制限モデルを導入し、特定の入力状態のもとで後選択下に普遍的になることを示す。
• 古典的類似物を定義する：確率的モデル（RBall）および非決定的モデル（NBall）を定義し、それらの複雑性が L、BPP、NP とどのように関係するかを分析する。
• トレース推定および平均トレース計算を用いて、量子モデルにおける振幅を DQC1 や BQP といった既知の複雑性クラスに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態 |12…n⟩ で初期化された玉置換量子モデルの計算能力は何か？
• RQ2 特定の初期状態のもとで、玉置換モデルが BQP の普遍性を達成できるか。もしそうならば、どのような条件下で達成できるか？
• RQ3 確率的玉置換モデル（RBall）の複雑性は何か？ そして L、BPP、Almost-L とどのように関係するか？
• RQ4 可解的玉置換モデルは後選択下で普遍的になるか？ そして、古典的シミュレーションに与える影響は何か？
• RQ5 玉置換モデルの数え上げ版の複雑性は何か？ そしてこれは #P に対応するか？

主な発見

• 初期状態 |12…n⟩ における玉置換モデルは DQC1 に含まれる。これは、BQP に関して普遍的でない可能性が高く、完全な量子計算よりも著しく弱い能力を示していることを示唆する。
• 特定の既約表現（例えば 2 行または 2 列のヤン図式）において、モデルは可能な限り大きなユニタリ群を生成する。これは BQP の普遍性の可能性を示唆する。
• 特定の入力状態のもとで、モデルは符号化された意味で BQP の普遍性を達成する。これは、振幅推定問題が BQP 完全になることによる。
• 制限された、可解的玉置換モデルは後選択下で普遍的になる。したがって、効率的な古典的サンプリングが可能であれば、多項式階層は第 3 層に崩壊する。
• 確率的玉置換モデル（RBall）は BPL ⊆ RBall ⊆ Almost-L を満たし、2 回の適応的クエリで Almost-L をシミュレート可能である。一方、1 回クエリでのシミュレーションは未解決のままである。
• 非決定的玉置換モデル（NBall）は NP 完全であり、数え上げ版 #Ball は、P = NP でない限り、乗法的誤差内で近似可能でない。