[論文レビュー] Permutational Quantum Computing

Stephen P. Jordan|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルなバーニングを回避する代わりにスピン1/2粒子の置換と角運動量の再結合によって計算を行う、置換量子計算（PQC）というモデルを導入する。PQCが対称群の既約表現の行列要素を効率的に近似でき、古典的に多項式時間で解けないことが知られていない特定のポンツァーノ＝レッジスピンフォーム振幅をシミュレートできることを証明しており、PQPはBQP内にあり、新しい複雑度クラスである可能性を示唆している。

ABSTRACT

In topological quantum computation the geometric details of a particle trajectory are irrelevant; only the topology matters. Taking this one step further, we consider a model of computation that disregards even the topology of the particle trajectory, and computes by permuting particles. Whereas topological quantum computation requires anyons, permutational quantum computation can be performed with ordinary spin-1/2 particles, using a variant of the spin-network scheme of Marzuoli and Rasetti. We do not know whether permutational computation is universal. It may represent a new complexity class within BQP. Nevertheless, permutational quantum computers can in polynomial time approximate matrix elements of certain irreducible representations of the symmetric group and simulate certain processes in the Ponzano-Regge spin foam model of quantum gravity. No polynomial time classical algorithms for these problems are known.

研究の動機と目的

• トポロジカルなバーニングではなく粒子の置換に基づく新しい量子計算モデルの探求。
• 置換量子計算（PQC）が古典的な多項式時間で解けない問題を解けるかどうかの評価。
• ポンツァーノ＝レッジスピンフォームのような量子重力モデルのシミュレーションにおけるPQCの計算能力の調査。
• PQCモデルのフォールトトレランスおよび物理的実装可能性の分析。
• PQCがPより大きな問題を含むがBQPより厳密に小さい複雑度クラス（PQP）を定義するかどうかの特定。

提案手法

• スピン1/2粒子とその角運動量の再結合を用いて、バーニングではなく置換に基づく計算モデルを定義。
• 対称群の既約表現のヤングの直交形を用いて量子操作を表現。
• 状態準備と測定を計算基底状態ではなく、全スピン演算子に基づくものに構築。
• 位相情報の抽出に干渉計測定を適用するが、その物理的実装は未解決の課題のまま。
• スピンフォーム遷移を置換に基づく操作にマッピングすることで、PQCがポンツァーノ＝レッジ振幅をシミュレートできることを示した。
• PQCが量子回路によって効率的にシミュレート可能であることを証明し、PQPがBQPに含まれることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換量子計算は、対称群の既約表現の行列要素を効率的に近似できるか？
• RQ2 ポンツァーノ＝レッジ振幅のような量子重力的過程は、置換量子計算によって効率的に近似可能か？
• RQ3 置換量子計算は、BQPより厳密に小さいがPより大きな問題を含む新しい複雑度クラスPQPを定義するか？
• RQ4 外部磁場や軌道のずれといった物理的摂動に対して、置換モデルはどれほど頑健か？
• RQ5 PQCモデルは、既存または提案済みの準粒子や物質を用いて物理的に実装可能か？

主な発見

• PQCはヤングの直交形における対称群の既約表現の行列要素を効率的に近似できる。
• PQCは、古典的に効率的に近似可能であることが知られていないポンツァーノ＝レッジスピンフォーム振幅のクラスを効率的にシミュレートできる。
• 置換量子コンピュータで多項式時間で解ける問題のクラスPQPは、BQPに含まれる。
• PQPがBQPの真の部分集合である証拠があり、PQPはBQPより小さいがPより大きな問題を含む新しい複雑度クラスを定義する可能性がある。
• PQCモデルは、離散的で軌道に依存しない操作および一様な磁場に対して感度が低いため、強いフォールトトレランスを示している。
• 位相抽出に必要な干渉計測定の物理的実装は、モデルにおいて未解決の問題のままである。