[論文レビュー] The cone of type A, level one conformal blocks divisors

Noah Giansiracusa, Angela Gibney|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、型A、レベル1の共形ブロック除集合が、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上のネフ錐の有限生成かつフル次元の部分錐を張ることを証明する。これらの除集合は、ヴェロネーゼ曲線の平坦極限に沿った点配置をパラメータ化するGIT商へ誘導する写像を定める。これにより、除集合類の間の恒等式に幾何的・モジュラー的意味を与え、拡張されたトーリの写像を通じてハイペルエリプティックおよび巡回的3重被覆の分岐集合と結びつける。

ABSTRACT

We prove that the type A, level one, conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$ span a finitely generated, full-dimensional subcone of the nef cone. Each such divisor induces a morphism from $\bar{M}_{0,n}$, and we identify its image as a GIT quotient parameterizing configurations of points supported on a flat limit of Veronese curves. We show how scaling GIT linearizations gives geometric meaning to certain identities among conformal blocks divisor classes. This also gives modular interpretations, in the form of GIT constructions, to the images of the hyperelliptic and cyclic trigonal loci in $\bar{M}_{g}$ under an extended Torelli map.

研究の動機と目的

• 型A、レベル1の共形ブロック除集合の錐が、ネフ錐内に有限生成かつフル次元の部分錐を張ることを証明すること。
• これらの除集合が誘導する写像の幾何的像が、ヴェロネーゼ曲線の平坦極限（準ヴェロネーゼ曲線）上の点配置をパラメータ化するGIT商であることを特定すること。
• GIT線形化のスケーリングを通じて、共形ブロック除集合類の間の恒等式に幾何的意味を与えること。
• ハイペルエリプティックおよび巡回的3重被覆の分岐集合の像を、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 内で拡張されたトーリの写像を通じて、GITに基づく構成により与えること。

提案手法

• 著者らは、ヴェロネーゼ曲線上の点配置から生じる有限個のGIT錐によって、共形ブロック除集合の錐が張られることを示す。
• タッデウスおよびドォルガチェフ＝フーの変動的技法を応用し、これらのGIT錐の有限生成性を確立する。
• 誘導される写像は、忘却写像、ハッセットモジュライ空間写像、およびGIT商 $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ への双有理写像の合成に分解される。
• 重み $w$、ランク $m$、次数 $d$ の関係を用いて、写像 $\varphi_{d,(1,\ldots,1)}^*$ を通じて除集合類をパラメータ化する。
• 共形ブロック除集合の双対性（例：ガレー双対性）を用いて、異なる除集合類を関連付け、独立生成子の数を削減する。
• 既知の拡張されたトーリの写像およびホッジ類 $\lambda$ の引き戻しに関する結果を用い、共形ブロック除集合とハイペルエリプティックおよび巡回的3重被覆の分岐集合を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型A、レベル1の共形ブロック除集合の錐が、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ のネフ錐内に有限生成な部分錐を張るか？
• RQ2 共形ブロック除集合 $\mathcal{CB}(A,1)$ が誘導する写像の幾何的像は何か？
• RQ3 GIT線形化のスケーリングと、共形ブロック除集合類の間の恒等式の関係は何か？
• RQ4 ハイペルエリプティックおよび巡回的3重被覆の分岐集合の像 $\overline{\mathcal{M}}_g$ が、準ヴェロネーゼ曲線上の点配置のGIT商として実現可能か？
• RQ5 GIT構成を通じて、除集合類 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_m}_{1,w}$ のモジュラー的解釈は何か？

主な発見

• 除集合 $\mathcal{CB}(A,1)$ が張る錐は、$\operatorname{N}^1(\overline{\mathcal{M}}_{0,n})$ 内で有限生成かつフル次元的であり、MDS予想が示唆する無限個の極小的境界線の可能性を解消する。
• 各共形ブロック除集合は、ハッセットモジュライ空間を経由し、$\mathbb{P}^d$ 内の準ヴェロネーゼ曲線上の $k$-重の点配置をパラメータ化するGIT商 $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ への写像に分解される。
• $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_m}_{1,w}$ に関連する写像の像は、重みデータによって定まる $d$ を用いて、$V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ の正規化と同型である。
• 拡張されたトーリの写像によるハイペルエリプティック分岐集合 $\overline{\operatorname{H}}_g$ の像の正規化は、$(V_{g,2g+2}//\operatorname{SL}_{g+1})/S_{2g+2}$ の正規化と同型であり、$\mathbb{P}^g$ 内の準ヴェロネーゼ曲線上の $2g+2$ 個の無順序点をパラメータ化する。
• 巡回的3重被覆分岐集合 $\overline{\operatorname{CT}}_g$ の像の正規化は、$g$ が $3|(g+2)$ を満たすとき、$(V_{\frac{g+2}{3},g+2}//\operatorname{SL}_{\frac{g+5}{3}})/S_{g+2}$ の正規化と同型であり、$\mathbb{P}^{\frac{g+2}{3}}$ 内の $g+2$ 個の点をパラメータ化する。
• ハイペルエリプティックおよび巡回的3重被覆写像によるホッジ類 $\lambda$ の引き戻しは、共形ブロック除集合の和として表され、$h^*(\lambda) = \frac{1}{2}\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{1,(1,\ldots,1)}$ および $f_{g+2,3}^*(\lambda) = \frac{2}{3}\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_{g+2}}_{1,((g+2)/3,\ldots,(g+2)/3)}$ が成り立ち、幾何的整合性が確認される。