[論文レビュー] The deformations of Whitham systems and Lagrangian formalism

A. Ya. Maltsev|ArXiv.org|Jan 23, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 49被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ダブルビン＝ゾアの構造を有するウィタム系の歪みにためのラグランジュ形式を構築し、非線形V＝ゴードン方程式の調制された1位相解に注目する。変分原理を用いてウィタム系の高次補正を導出し、位相調制の2次摂動から生じるラグランジュ密度の最初の非自明な補正が得られ、周期的解の遅い調制を記述する一貫した方程式階層が得られる。

ABSTRACT

We consider the Lagrangian formalism of the deformations of Whitham systems having Dubrovin-Zhang form. As an example the case of modulated one-phase solutions of the non-linear "V-Gordon" equation is considered.

研究の動機と目的

• ダブルビン＝ゾア構造を有するウィタム系の歪みにラグランジュ形式を拡張すること。
• 双曲的ウィタム系の文脈において、m位相準周期的解の遅い調制を分析すること。
• 変分原理と摂動論を用いて、ウィタム系の高次補正を導出すること。
• ラグランジュ密度の歪み展開における最初の非自明な補正を体系的に計算する方法を確立すること。
• 非線形V＝ゴードン方程式の1位相解の文脈で形式を適用すること。

提案手法

• 小さなパラメータεの漸近的展開を用いて、空間的・時間的にゆっくりと変化するm位相解の解析を行う。位相関数S(X,T)が空間的・時間的にゆっくりと変化することを仮定する。
• ウィタム系は、線形化方程式の可解性条件から得られ、線形化作用素の左固有ベクトルに対する直交性を要請する。
• 線形化作用素の核内における位相およびパラメータ微分の線形独立性を要請することで、m位相解の完全な正則族を定義する。
• ラグランジュ密度をεのべき級数に展開する。主項L̄(0)は、位相θに関する元のラグランジュ密度の空間的・時間的平均として得られ、高次補正は2次変分を用いて計算する。
• 歪みの最初の非自明な補正σ(3)は、第二階層ラグランジュ項Σ(2)[S]の変分をとり、ウィタム系を用いて高次時間微分を表現することで得られる。
• 正規化および周期性の制約を用いて、1次補正Φ(1)をS微分の局所的汎関数として表現し、Σ(2)の明示的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダブルビン＝ゾア構造を有するウィタム系の歪みに、一貫したラグランジュ形式を構築する方法は何か？
• RQ2 ラグランジュ密度の歪み展開における最初の非自明な補正σ(3)の構造は何か？
• RQ3 位相S(X,T)の高次微分は、第二階層補正Σ(2)[S]にどのように寄与するか？
• RQ4 変分原理を用いて、先行するウィタム系を超える補正を体系的に導出できるか？
• RQ5 左固有ベクトルおよび可解性条件は、歪み階層の摂動的構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 主項ラグランジュ密度L̄(0)は、位相θに関する2π周期的積分を用いて、元のラグランジュ密度の空間的・時間的平均として与えられる。
• 歪みの最初の非自明な補正σ(3)は、第二階層ラグランジュ項Σ(2)[S]の変分を、θに関するΦθ²の積分を含む主項係数で割った比として得られる。
• 補正Φ(1)は、SX, ST, SXX, SXTの微分の局所的汎関数として明示的に表現され、位相変数に関する強制項f̃(1)の積分を含む。
• 第二階層補正Σ(2)[S]は、Φ(1)およびその微分の2次項、およびSの2階微分を含むΦ(1)の1次項を含み、これらはすべて位相および空間時間で積分される。
• Sの高次時間微分（例：STT）は、ウィタム系(3.3)からの主項値に置き換えられ、摂動展開の一貫性が保たれる。
• 形式はV＝ゴードン方程式に適用され、1位相解の調制により、歪みパラメータの3次までの一貫したS(X,T)に関する閉じた方程式系が得られる。