[論文レビュー] The Drinfeld-Lafforgue-Vinberg degeneration I: Picard-Lefschetz oscillators

Simon Schieder|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、曲線上のSL₂-バンドルのDrinfeld-Lafforgue-Vinbergコンパクト化の特異点を、近傍サイクルとモノドロミーを用いた1パラメータ族の退化によって分析することにより研究している。近傍サイクル層を記述するための新しい perverse ファンクター、Picard-Lefschetz オシレーターを導入し、因子的局所モデルを用いて交差コホモロジー層を計算する。関数体におけるラングランズプログラムへの応用を含む。

ABSTRACT

We study the singularities of the Drinfeld-Lafforgue-Vinberg compactification of the moduli stack of G-bundles on a smooth projective curve for a reductive group G. The study of these compactifications was initiated by V. Drinfeld (for G=GL_2) and continued by L. Lafforgue (for G=GL_n) in their work on the Langlands correspondence for function fields. A definition of the compactification for a general reductive group G is also due to Drinfeld and relies on the Vinberg semigroup of G; this case will be dealt with in [Sch]. In the present paper we focus on the case G=SL_2. In this case the compactification can alternatively be viewed as a canonical one-parameter degeneration of the moduli space of SL_2-bundles. We study the singularities of this one-parameter degeneration via the weight-monodromy theory of the associated nearby cycles construction: We give an explicit description of the nearby cycles sheaf together with its monodromy action in terms of certain novel perverse sheaves which we call Picard-Lefschetz oscillators, and then use this description to determine the intersection cohomology sheaf. Our proofs rely on the construction of certain local models for the one-parameter degeneration which themselves form one-parameter families of spaces which are factorizable in the sense of Beilinson and Drinfeld. We also include an application on the level of functions.

研究の動機と目的

• G=SL₂に対するDrinfeld-Lafforgue-Vinbergコンパクト化の特異点を1パラメータ族の退化を用いて分析すること。
• 近傍サイクル層とそのモノドロミー作用を、新しい perverse ファンクターであるPicard-Lefschetz オシレーターを用いて記述すること。
• 幾何的およびモノドロミー的技法を用いて、コンパクト化されたモジュライ空間の交差コホモロジー層を特定すること。
• BeilinsonとDrinfeldの意味で因子的であるような、退化を制御するための局所モデルを構成すること。
• 結果を関数論的レベルに応用し、関数体におけるラングランズプログラムに関連させること。

提案手法

• SL₂バンドルのモジュライ空間の1パラメータ族の退化の文脈において、近傍サイクル構成を用いる。
• モノドロミーを伴う近傍サイクルをモデル化するため、新しい perverse ファンクタークラスであるPicard-Lefschetz オシレーターを導入する。
• Beilinson-Drinfeldフレームワークを活用して、因子的であるような退化のための局所モデルを構築する。
• 重み-モノドロミー理論を用いて、近傍サイクル層上のモノドロミー作用を分析する。
• ビンバーグ半群の構造を用いてコンパクト化を定義し、特異点集合を分析する。
• ラングランズ対応の枠組みを用いて、幾何的結果を関数論的文脈に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL₂バンドルに対するDrinfeld-Lafforgue-Vinbergコンパクト化の特異点は、1パラメータ族の退化においてどのように振る舞うか？
• RQ2 この退化における近傍サイクル層の構造とそのモノドロミー作用は何か？
• RQ3 幾何的およびモノドロミー的データを用いて、コンパクト化されたモジュライ空間の交差コホモロジー層を明示的に計算できるか？
• RQ4 因子的局所モデルは、退化とその特異点を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 層論的結果は、モジュライ空間上の関数に関するどの程度の記述に翻訳できるか？

主な発見

• SL₂コンパクト化の近傍サイクル層は、新しい perverse ファンクタークラスであるPicard-Lefschetz オシレーターを用いて明示的に記述される。
• 近傍サイクル層上のモノドロミー作用は、これらのオシレーターの構造によって完全に特徴付けられる。
• コンパクト化されたモジュライ空間の交差コホモロジー層は、モノドロミーと重みフィルトレーションのデータを用いて計算される。
• Beilinson-Drinfeldの意味で因子的であるような、退化のための局所モデルが構成され、体系的な解析が可能になる。
• 幾何的結果は、層論的構造と自動形式を結びつける関数論的応用をもたらす。
• コンパクト化の特異点は、ビンバーグ半群の組合せ論と退化パラメータによって制御されていることが示された。