[論文レビュー] The k-metric dimension of a graph: Complexity and algorithms

Ismael G. Yero, Alejandro Estrada‐Moreno|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、グラフのk-メトリック次元を調査し、一般には計算がNP完全であることを証明しているが、木については線形時間で解けることを示している。k-メトリック次元グラフの概念を導入し、グラフがk-メトリック次元をとる最大のkを求める問題が多項式時間で解けることを示している。

ABSTRACT

Given a connected graph G = (V,E), a set S ⊆ V is said to be a k-metric generator for G if the elements of any pair of vertices of G are distinguished by at least k elements of S, i.e., for any two different vertices u,v ∈ V , there exist at least k vertices w1,w2,...,wk ∈ S such that dG(u,wi) 6 dG(v,wi) for every i ∈ {1,...,k}. A metric generator of minimum cardinality is called a k-metric basis and its cardinality the k-metric dimension of G. We show that the problem of computing the k-metric dimension of graphs is NP-Complete. However, the problem is solved in linear time for the particular case of trees. A connected graph G is k-metric dimensional if k is the largest integer such that there exists a k-metric basis for G. We also show that the problem of finding the integer k such that a graph G is k-metric dimensional can be solved in polynomial time.

研究の動機と目的

• k-メトリック次元の形式的定式化と分析を通し、古典的なメトリック次元概念をk区別集合へと拡張する。
• 任意の連結グラフにおけるk-メトリック次元の計算の計算複雑性を特定する。
• 特に木において、k-メトリック次元を効率的に計算できる条件を同定する。
• グラフがk-メトリック次元をとる最大のkを求める多項式時間アルゴリズムを確立する。
• k-メトリック次元グラフを定義・特徴づけ、ここでkはk-メトリック基底を許容する最大の整数である。

提案手法

• S ⊆ V が頂点の任意のペアを、S内の少なくともk個の要素による異なる距離によって区別できるような集合Sをk-メトリック生成子として提案する。
• 一般グラフにおけるk-メトリック次元問題のNP完全性を示すために、還元技術を用いる。
• 木の階層的構造と距離の性質を活用することで、木におけるk-メトリック次元の計算に線形時間アルゴリズムを設計する。
• 動的計画法と木分解技術を用いて、木におけるk-メトリック基底を効率的に計算する。
• 頂点ペア間の距離による区別可能性を分析することで、グラフがk-メトリック次元をとる最大のkを求める多項式時間アルゴリズムを開発する。
• グラフ理論的特徴づけを用いて、k-メトリック次元の計算を効率的に行うための構造的性質を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフのk-メトリック次元を計算する問題はNP完全か？
• RQ2 特定のグラフクラス、例えば木において、k-メトリック次元を多項式時間で計算できるか？
• RQ3 グラフがk-メトリック次元をとる最大のkを求める問題の計算複雑性は何か？
• RQ4 構造的グラフにおいて、k-メトリック生成子をどのように効率的に構築できるか？
• RQ5 どのようなグラフの構造的性質が、k-メトリック次元の計算を効率的に行うことを可能にするか？

主な発見

• 一般の連結グラフにおけるk-メトリック次元の計算問題はNP完全である。
• 木においては、その非循環的かつ階層的な構造を活用することで、k-メトリック次元を線形時間で計算できる。
• グラフがk-メトリック次元をとる最大のkは、多項式時間で決定できる。
• グラフがk-メトリック次元をとるとは、kがk-メトリック基底が存在する最大の整数であるときに限り成り立つ。
• k-メトリック次元は古典的メトリック次元を一般化したものであり、k=1は標準的なメトリック基底に対応する。
• k-メトリック生成子は、すべての頂点ペアが生成子内の少なくともk個の頂点によって区別されることを保証し、識別性の強化を図る。