[論文レビュー] The Kuenneth formula for graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限単純グラフに対する新しいカルテシアン積を導入し、グラフコホモロジーにおけるクーネンプの公式を満たす。これにより、積のポincare多項式が、各因子の多項式の積に分解されることを保証する。この構成は、離散de Rhamコホモロジーとチェーンホモトピーを用いて、de Rhamコホモロジーと単体的コホモロジーの同型を確立し、積グラフのコホモロジーが因子のコホモロジーのテンソル積に分解されることを証明する。次に、次元と彩色数の性質が連続位相におけるものと一致することを示す。

ABSTRACT

We construct a Cartesian product G x H for finite simple graphs. It satisfies the Kuenneth formula: H^k(G x H) is a direct sum of tensor products H^i(G) x H^j(G) with i+j=k and so p(G x H,x) = p(G,x) p(H,y) for the Poincare polynomial p(G,x) and X(G x H) = X(G) X(H) for the Euler characteristic X(G)=p(G,-1). G1=G x K1 has as vertices the simplices of G and a natural digraph structure. We show that dim(G1) is larger or equal than dim(G) and G1 is homotopic to G. The Kuenneth identity is proven using Hodge describing the harmonic forms by the product f g of harmonic forms of G and H and uses a discrete de Rham theorem given by a combinatorial chain homotopy between simplicial and de Rham cohomology. We show dim(G x H) = dim(G1) + dim(H1) implying that dim(G x H) is larger or equal than dim(G) + dim(H) as for Hausdorff dimension in the continuum. The chromatic number c(G1) is smaller or equal than c(G) and c(G x H) is bounded above by c(G)+c(H)-1. The automorphism group of G x H contains Aut(G) x Aut(H). If G~H and U~V then (G x U) ~ (H x V) if ~ means homotopic: homotopy classes can be multiplided. If G is k-dimensional geometric meaning that all unit spheres S(x) in G are (k-1)-discrete homotopy spheres, then G1 is k-dimensional geometric. If G is k-dimensional geometric and H is l-dimensional geometric, then G x H is geometric of dimension (l+k). The product extends to a ring of chains which unlike the category of graphs is closed under boundary operation taking quotients G/A with A subset Aut(G). As we can glue graphs or chains, joins or fibre bundles can be defined with the same features as in the continuum, allowing to build isomorphism classes of bundles.

研究の動機と目的

• 離散コホモロジーにおいて、連続の場合と同様にクーネンプの公式を満たすグラフ積を定義すること。
• 部分微分と調和形式を用いて、積グラフに離散de Rhamコホモロジー理論を構築すること。
• 積グラフのコホモロジーが因子のコホモロジーのテンソル積に同型であることを証明すること。
• 境界作用と商を含む、境界作用と商に関して閉じたグラフの環構造への拡張を可能にし、グラフバンドルの構成を可能にすること。

提案手法

• 有限単純グラフ $G$ と $H$ の完全部分グラフのペアを頂点とする、$G \times H$ のカルテシアン積を定義する。
• グラフ $G$ と $H$ の部分微分を用いて、$G \times H$ 上の離散外微分を構成し、de Rham複体を形成する。
• de Rham複体とホイットニー単体的複体との間でチェーンホモトピーを確立し、コホモロジー理論の同値性を証明する。
• グラフ $G$ と $H$ 上の調和形式 $f$ と $g$ を用いて、$G \times H$ 上の基底形式 $f(x) \otimes 1$、$1 \otimes g(y)$、$f(x)g(y)$ を生成する。
• コホモロジー代表元の明示的構成により、クーネンプの公式 $H^k(G \times H) \cong \bigoplus_{i+j=k} H^i(G) \otimes H^j(H)$ を証明する。
• 積グラフ $G \times H$ の次元が、$G$ と $H$ の次元の点ごとの和に等しく、$G_1 = G \times K_1$ が $G$ とホモトピー同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフコホモロジーにおいて、連続の場合と同様にクーネンプの公式を満たすグラフ積が存在するか？
• RQ2 積グラフにおける離散de Rhamコホモロジーが、チェーンホモトピーを介して単体的コホモロジーと同値にできるか？
• RQ3 積グラフの次元は因子の次元とどのように関係するか？また、ハウスドルフ型の不等式を満たすか？
• RQ4 グラフ $G \times H$ の彩色数は何か？また、$c(G \times H) \leq c(G) + c(H) - 1$ を満たすか？
• RQ5 積構成を、境界作用と自己同型群による商に関して閉じたグラフの環に拡張できるか？

主な発見

• 積グラフのポincare多項式は $p_{G \times H}(x) = p_G(x) p_H(x)$ を満たし、$\chi(G \times H) = \chi(G) \chi(H)$ が成り立つ。
• 積グラフのコホモロジーはテンソル積 $\bigoplus_{i+j=k} H^i(G) \otimes H^j(H)$ に同型であり、クーネンプの公式を満たす。
• 積グラフ $G \times H$ の次元は、$G$ と $H$ の次元の点ごとの和に等しい：$\dim(G \times H)(x,y) = \dim(G_1)(x) + \dim(H_1)(y)$。
• グラフ $G \times H$ の彩色数は、$c(G) + c(H) - 1$ 以下であり、$G$ と $H$ がともに3彩色可能で $K_5$ を部分グラフに持つとき、$c(G \times H) = 5$ である。
• グラフ $G \times H$ の自己同型群には $\operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$ が含まれ、積はホモトピー型を保存する。
• 積は、境界作用 $\delta$ と自己同型群の部分集合 $A \subset \operatorname{Aut}(G)$ による商 $G/A$ に関して閉じたチェーンの環に拡張可能であり、グラフバンドルの構成を可能にする。