[論文レビュー] Lectures on D-branes and Sheaves

Eric Sharpe|ArXiv.org|Jul 24, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 72被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体上のオープンスティリーオブ・BモデルにおけるD-braneと、束やExt群などの数学的対象との間の明確な物理的対応を確立し、オープンスティリーオブスペクトルと演算子積構造が、束コホモロジーとヨネダペアリングによって計算されることを示している。主な貢献は、物理的D-brane配置と導来カテゴリおよび束理論を結びつける体系的な枠組みを提供することであり、そうでなければ扱いにくい物理的スペクトルを数学的に扱えるようにしている。

ABSTRACT

These notes are a writeup of lectures given at the twelfth Oporto meeting on ``Geometry, Topology, and Physics,'' and at the Adelaide workshop ``Strings and Mathematics 2003,'' primarily geared towards a physics audience. We review current work relating boundary states in the open string B model on Calabi-Yau manifolds to sheaves. Such relationships provide us with a mechanism for counting open string states in situations where the physical spectrum calculation is nearly intractable -- after translating to mathematics, such calculations become easy. We describe several different approaches to these models, and also describe how these models are changed by varying physical circumstances -- flat B field backgrounds, orbifolds, and nonzero Higgs vevs. We also discuss mathematical interpretations of operator products, and how such mathematical interpretations can be checked physically. One of the motivations for this work is to understand the precise physical relationship between boundary states in the open string B model and derived categories in mathematics, and we outline what is currently known of the relationship.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体上のオープンスティリーオブBモデルにおける束を、D-braneのモデルとして物理的に解釈すること。
• 物理的オープンスティリーオブスペクトルと数学的Ext群の間の直接的対応を確立すること。
• ブレイン/アンチブレインの消失、B場の背景、ヒッグス真空期待値といった物理現象が、導来カテゴリやねじれた束といった数学的構造にどのように対応するかを説明すること。
• BRSTコホモロジーを用いたマス性のあるワールドーシート理論における物理的導出を通じて、Ext群やスペクトル系列といった数学的構成を導出すること。
• フーリエ＝ムカイ変換を介して、導来カテゴリの数学的枠組みと物理的概念（安定性、T双対性）を結びつけること。

提案手法

• タキオンの真空期待値を導入して得られるマス性のあるワールドーシート理論におけるBRSTコホモロジーを用い、Ext群を物理的オープンスティリーオブスペクトルとして計算すること。
• 局所自由束の有限分解を用いて束を表現し、Dolbeault形式を含む二重複体の全複体を介して導来ファンクターを計算すること。
• スペクトル系列を用いてExt群を計算し、物理的実現としてBRST複体およびそのコホモロジーを用いること。
• 物理的演算子積構造（OPE）を、Ext群における数学的ヨネダペアリングにマッピングし、BRST不変な頂点演算子によって検証すること。
• 平坦なB場、オルビフォールド、ニルポテンシャルなヒッグス真空期待値といった物理的条件下でのD-braneの変形を、ねじれた束と一般化された複素構造を用いて分析すること。
• アティヤ＝ヒルツェブルクスペクトル系列とフレッド＝ウィットンの異常に関する考察を用いて、一貫性のあるD-brane配置とその数学的双対を制限すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体上のD-brane間のオープンスティリーオブスペクトルは、束理論におけるExt群とどのように対応するか？
• RQ2 境界チャーラル環におけるヨネダペアリングの物理的実現は何か？ そして、それらは演算子積展開とどのように関係するか？
• RQ3 平坦なB場、オルビフォールド、ヒッグス真空期待値といった物理的変形は、ねじれた束や非還元的スキームといった数学的構造にどのように対応するか？
• RQ4 導来カテゴリがD-braneを記述する役割を果たす理由は何か？ また、タキオンの真空期待値やブレイン/アンチブレイン系は、数学的にどのように実現されるか？
• RQ5 スペクトル系列とフィルトレーションの数学的枠組みは、D-braneスペクトルと頂点演算子代数の文脈でどのように物理的に実現されるか？

主な発見

• D-brane間のオープンスティリーオブスペクトルは、Dolbeault形式と束分解のテンソル積からなる複体のコホモロジーとして物理的に実現され、微分作用素は∂̄、dF、dGを含む。
• Ext群は、F•⊗G•⊗A0,•の滑らかな切断の複体のコホモロジーとして計算され、分解の微分作用素と∂̄作用素の符号が含まれる。
• Ext群を計算するためのスペクトル系列は、タキオンの真空期待値から得られるマス性のある理論のBRSTコホモロジーに物理的実現を持つ。E2で退化することは、全複体のコホモロジーに同型であることを示す。
• 境界-境界OPEは、Ext群におけるヨネダペアリングとして物理的に実現され、物理的頂点演算子はOPEを通じてヨネダ合成を実現する。
• 複素ベクトルバンドルの文脈では、フレッド＝ウィットンの異常は回避される。なぜなら、それらは常にSpin c構造を備えているからであり、D-braneの束モデルの一貫性が保証される。
• ヒッグス真空期待値は、ニルポテンシャルなヒッグス構造や遮断されたP1の非自明な束構造をもたらし、これらは非自明な導来カテゴリの対象および非還元的スキームに対応する。