[論文レビュー] The Relation between Subfactors arising from Conformal Nets and the Realization of Quantum Doubles

Marcel Bischoff|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2015

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限指数・有限深さの部分因子が conformal net から生じるための明確な基準を確立する。それは、部分因子の量子二重が conformal net の表現カテゴリとして実現可能であるときに限る。主な結果は、このような部分因子が、拡張を通じて2次元 conformal field theory と深く関係しており、部分因子の量子二重がより大きな conformal net の表現カテゴリとして現れることを示している。これにより、モジュラー tensor category を通じて、部分因子理論と代数的量子場理論が結びつけられる。

ABSTRACT

We give a precise definition for when a subfactor arises from a conformal net which can be motivated by classification of defects. We show that a subfactor $N \\subset M$ arises from a conformal net if there is a conformal net whose representation category is the quantum double of $N\\subset M$.

研究の動機と目的

• 有限指数・有限深さの部分因子が、欠損理論と双対性に由来する conformal net から生じる条件を明確に定義すること。
• 量子二重構成を介して、部分因子と conformal net の間の対応を確立すること。
• このような部分因子が、その表現カテゴリが部分因子の量子二重に同型である相対局所的拡張として、ある conformal net の一部として実現可能であることを示すこと。
• 特に量子二重を含むユニタリモジュラー tensor category (UMTC) が、conformal net の表現カテゴリとして実現可能かどうかを調査すること。
• 特に near-group な融合カテゴリおよび低インデックス部分因子に対して、部分因子から conformal net を構成する方法と、逆に conformal net から部分因子を構成する方法を調査すること。

提案手法

• 部分因子が conformal net から生じるとは、その量子二重が conformal net の表現カテゴリと同型である場合に限る、と定義する。
• Longo–Rehren 構成を用いて、与えられた部分因子の量子二重を表現カテゴリとして実現する conformal net の拡張を構成する。
• 部分因子のガロア対応を用いて、中間的な拡張と表現カテゴリの部分カテゴリとの関係を関係づける。
• 必要に応じて逆方向の net とのテンソル積を取ることで、与えられた部分因子の量子二重を表現カテゴリとする conformal net を構成する。
• ホロモーフィック net が完全な量子二重を実現することを活用し、普遍的拡張の構成を可能にする。
• Longo–Rehren 部分因子の双対性を用いて、望ましい表現カテゴリを実現する局所的拡張の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限指数・有限深さの部分因子が、いつ conformal net から生じるのか。
• RQ2 有限指数・有限深さの部分因子の量子二重は、常にある conformal net の表現カテゴリとして実現可能か。
• RQ3 その部分因子の量子二重と braided 同型な全部分カテゴリを含む表現カテゴリを持つ conformal net は存在するか。
• RQ4 この構成は near-group な融合カテゴリや他の部分因子の族に一般化可能か。
• RQ5 すべての有限指数・有限深さの部分因子は、拡張と相対局所性を経由して、ある conformal net から生じるか。

主な発見

• 有限指数・有限深さの部分因子 $N\subset M$ が conformal net $\mathcal{A}$ から生じるための必要十分条件は、$\operatorname{Rep}(\mathcal{A})$ が $\mathcal{D}(N\subset M)$、つまり部分因子の量子二重と braided 同型な全部分カテゴリを含むことである。
• 部分因子 $N\subset M$ が $\mathcal{A}$ から生じるならば、2次元の conformal net $\mathcal{B}_2 \supset \mathcal{A}_2$ が存在し、$\operatorname{Rep}(\mathcal{B}_2) \cong \mathcal{D}(N\subset M)$ が成り立つ。
• もし $\mathcal{A}$ が $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}) \cong \mathcal{C}$ を満たし、$\tilde{\mathcal{A}}$ が $\operatorname{Rep}(\tilde{\mathcal{A}}) \cong \mathcal{C}^{\mathrm{rev}}$ を満たすならば、$\mathcal{B} \supset \mathcal{A} \otimes \tilde{\mathcal{A}}$ となる conformal net $\mathcal{B}$ が存在し、$\operatorname{Rep}(\mathcal{B}) \cong \mathcal{D}(N\subset M)$ が成り立つ。
• この構成はインデックスが 4 より小さい部分因子に適用可能であり、2221 および $2^41$ の部分因子の二重は、ループ群 net および conformal inclusion を通じて実現されている。
• 本論文は、すべての有限指数・有限深さの部分因子が conformal net から生じる可能性を示唆する一般的な枠組みを提供しており、特に near-group カテゴリに対して明示的な構成が与えられている。