[論文レビュー] The Riccati Differential Equation and a Diffusion-Type Equation

Erwin Suazo, Sergeĭ K. Suslov+1 more|ArXiv.org|Jul 28, 2008

Differential Equations and Numerical MethodsMathematics被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する係数をもつ1次元の拡散型方程式のカウチ初期値問題に対して、明示的な解析的解を提示する。問題はリッカティ方程式およびその関連する2階線形特徴方程式に還元され、初等関数と積分を用いたグリーン関数（熱核）の閉形式表現が得られ、ダゥハメルの原理を用いて同次および非同次の場合の正確な解が可能となる。

ABSTRACT

We construct an explicit solution of the Cauchy initial value problem for certain diffusion-type equations with variable coefficients on the entire real line. The corresponding Green function (heat kernel) is given in terms of elementary functions and certain integrals involving a characteristic function, which should be found as an analytic or numerical solution of the second order linear differential equation with time-dependent coefficients. Some special and limiting cases are outlined. Solution of the corresponding non-homogeneous equation is also found.

研究の動機と目的

• 実数直線上の一般の係数をもつ拡散型方程式のカウチ初期値問題に対する明示的解の構成。
• グリーン関数（熱核）が初等関数と積分で表現可能となる条件の同定。
• 拡散方程式の解と特徴関数から導かれるリッカティ方程式の解との間の関係の確立。
• ダゥハメルの原理を用いて、非同次方程式へのこの手法の拡張。
• 双曲線的および三角関数的時間依存係数をもつ特殊ケースに対する明示的解の提供。

提案手法

• 解は、$ u = A(t) e^{S(x,y,t)} $ というアンザッツにより構成され、ここで $ A(t) = 1 / \sqrt{2\pi\mu(t)} $ であり、$ S $ は時間に依存する係数をもつ $ x $ と $ y $ に関する二次形式である。
• アンザッツをPDEに代入することで得られるODEの系を解くことにより、$ S $ に含まれる係数が決定され、$ \alpha(t) $ についてのリッカティ方程式が得られる。
• リッカティ方程式は、特徴関数 $ \mu(t) $ についての2階線形ODEに変換され、$ \mu'' - \tau(t)\mu' - 4\sigma(t)\mu = 0 $ として与えられる。ここで $ \tau $ と $ \sigma $ は時間に依存する係数の関数として定義される。
• グリーン関数は明示的に $ K(x,y,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\mu(t)}} \exp(S(x,y,t)) $ として与えられ、ここで $ S $ はODE系の解に依存する。
• 正しい初期挙動を保証するため、初期条件 $ \mu(0) = 0 $、$ \mu'(0) = 2a(0) \neq 0 $ を満たす特徴方程式 $ \mu'' - \tau(t)\mu' - 4\sigma(t)\mu = 0 $ を解くことにより、この方法は成立する。
• 非同次方程式の場合、ダゥハメルの原理が適用され、解は同次解作用素と励起項を含む時間積分として表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する係数をもつ拡散型PDEの基本解が、初等関数と積分を用いて閉形式で表現可能となる条件は何か？
• RQ2 係数が時間に依存するリッカティ微分方程式の解と、拡散方程式の解との関係は何か？
• RQ3 特徴関数 $ \mu(t) $ の役割は何か？ そして、それがグリーン関数の構造をどのように決定するか？
• RQ4 ダゥハメルの原理を用いて、係数が変化する非同次拡散方程式の解をどのように導出できるか？
• RQ5 双曲線的および三角関数的関数を含む特定の時間依存係数関数に対して、熱核の明示的形は何か？

主な発見

• 拡散方程式のグリーン関数は明示的に $ K(x,y,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\mu(t)}} \exp(\alpha x^2 + \beta xy + \gamma y^2 + \delta x + \varepsilon y + \kappa) $ として構成され、係数はODE系の解により決定される。
• 係数 $ \alpha(t) $ はリッカティ方程式 $ \frac{d\alpha}{dt} + b(t) - 2c(t)\alpha - 4a(t)\alpha^2 = 0 $ を満たし、これが解法の中心的役割を果たす。
• 特徴関数 $ \mu(t) $ は2階線形ODE $ \mu'' - \tau(t)\mu' - 4\sigma(t)\mu = 0 $ を満たし、ここで $ \tau(t) = \frac{a'}{a} + 2c - 4d $、$ \sigma(t) = ab + cd - d^2 + \frac{d}{2}\left(\frac{a'}{a} - \frac{d'}{d}\right) $ である。
• $ a(t) = \sinh^2 t $、$ b(t) = \cosh^2 t $、$ c(t) = \frac{1}{2}\sinh 2t $ の場合、特徴方程式は $ \mu'' - 2\tanh t\, \mu' + 2\mu = 0 $ となり、解として $ \mu_1(t) = \cos t \sinh t + \sin t \cosh t $ が得られ、$ 0 < t < T_1 \approx 0.93755 $ で有効である。
• この場合の熱核は明示的に与えられ、$ \gamma(t) $ の符号に依存する収束条件が存在し、適切な初期データに対して可積分性を保証する。
• 同様に、$ a(t) = \cos^2 t $、$ b(t) = \sin^2 t $、$ c(t) = -\frac{1}{2}\sin 2t $ の方程式に対しても、同様の熱核の形が得られ、$ x $ と $ y $ が入れ替わるが、$ 0 < t < T_2 \approx 2.347 $ で有効である。