[論文レビュー] The role of the patch test in 2D atomistic-to-continuum coupling methods

Christoph Ortner|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2011

Microstructure and mechanical properties参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2次元原子論的から連続体への（a/c）結合法におけるピースムテストの整合性—ゴースト力の排除—が、エネルギー整合性、局所的界面補正、補正の体積スケーリング、および原子論的領域の連結性という4つの主要な技術的条件のもとで、1次精度を示すことを確立している。解析は、W^{1,p}ノルムにおける新規な応力テンソル構成と変分犯罪技術を用いて、エネルギーに基づくa/c法の厳密な基礎を提供し、整合性と収束速度を結びつける。

ABSTRACT

For a general class of atomistic-to-continuum coupling methods, coupling multi-body interatomic potentials with a P1-finite element discretisation of Cauchy--Born nonlinear elasticity, this paper adresses the question whether patch test consistency (or, absence of ghost forces) implies a first-order error estimate. In two dimensions it is shown that this is indeed true under the following additional technical assumptions: (i) an energy consistency condition, (ii) locality of the interface correction, (iii) volumetric scaling of the interface correction, and (iv) connectedness of the atomistic region. The extent to which these assumptions are necessary is discussed in detail.

研究の動機と目的

• 2次元a/c法におけるピースムテストの整合性が1次誤差推定を意味するかどうかを特定すること。
• エネルギーに基づくa/c法の理論的理解における重要なギャップを埋め、整合性が収束に結びつかなかった問題を解決すること。
• ゴースト力が存在しない手法が最適な収束率を達成するための十分条件を確立すること。
• W^{1,p}ノルムと変分犯罪技術を用いた、a/c法における誤差推定の一般的な解析フレームワークを構築すること。

提案手法

• 多体原子間ポテンシャルとP1有限要素法を用いたCauchy–Born弾性を結合する一般的なa/c法のクラスを導入。
• 2次元および3次元a/c結合を対象とした、独自の表記法と解析フレームワークを構築。局所的滑らかさを測るための離散的振動作用素を含む。
• Shapeevの結合密度補題を用いて結合積分と体積積分を関連づけ、応力テンソルの比較を可能にする。
• ヴァイナル応力に類似した原子論的およびa/c用の応力関数を構築し、応力整合性を用いた誤差分解を可能にする。
• 修正されたa/c応力関数と補正関数を用いて、界面補正が存在する状況下でのモデル化誤差を制御。
• 補間誤差推定と双対ノルム技術を適用し、W^{-1,p}ノルムにおけるモデル化誤差を評価。主な安定性の課題を明確に分離。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元a/c法におけるピースムテストの整合性は、エネルギー形式において1次収束を示唆するか？
• RQ2 ゴースト力の排除が最適な誤差推定を保証するために、どのような追加の技術的仮定が必要か？
• RQ3 原子論的およびa/cモデルのための応力テンソルをどのように構築すれば、厳密な誤差解析が可能になるか？
• RQ4 エネルギー整合性、局所的補正、体積スケーリング、および原子論的領域の連結性という仮定は、1次収束にとってどれほど必要か？
• RQ5 メッシュの粗さとは無関係にモデル化誤差を有界化できるか。どのような条件下で可能か？

主な発見

• ピースムテストの整合性だけでは1次収束が不十分であり、4つの追加の技術的仮定と組み合わせる必要がある。
• 2次元において、エネルギー整合性、局所的界面補正、補正の体積スケーリング、および原子論的領域の連結性を満たせば、1次整合性が達成される。
• 原子論的およびa/c用の応力関数の構築により、モデル化誤差が応力整合性項と補正項に明確に分解可能である。
• 修正されたa/c応力関数の使用により、界面補正が存在する状況でも誤差を制御可能であり、補正関数が界面での整合性を保証する。
• 解析により、安定性仮定が満たされれば、モデル化誤差がメッシュの粗さとは無関係に有界であることが示された。
• 主な結果、定理6は、提示された仮定のもとで、a/c法がW^{1,p}ノルムにおいて1次整合性を達成することを確立している。