[論文レビュー] The stationary measure for diagonal quantum walk with one defect

Takako Endo, Hikari Kawai+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元量子ウォークにおける対角ユニタリ行列と1つの欠际を有する場合の定常測度を、散乱グリーン関数（SGF）法を用いて導出する。一般に定常測度は一様でなく、欠际の構造および初期状態に依存するが、欠际が対角である場合には一様になることが示され、対角量子ウォークにおける定常測度の分類フレームワークが得られる。

ABSTRACT

This study is motivated by the previous work [14]. We treat 3 types of the one-dimensional quantum walks (QWs), whose time evolutions are described by diagonal unitary matrix, and diagonal unitary matrices with one defect. In this paper, we call the QW defined by diagonal unitary matrices, "the diagonal QW", and we consider the stationary distributions of generally 2-state diagonal QW with one defect, 3-state space-homogeneous diagonal QW, and 3-state diagonal QW with one defect. One of the purposes of our study is to characterize the QWs by the stationary measure, which may lead to answer the basic and natural question, "What the stationary measure is for one-dimensional QWs ?". In order to analyze the stationary distribution, we focus on the corresponding eigenvalue problems and the definition of the stationary measure.

研究の動機と目的

• 1次元量子ウォークの定常測度による特徴付けを目的とし、根本的な問いに答える：1次元量子ウォークの定常測度は何か？
• 2状態および3状態の対角量子ウォークに1つの欠际を導入した場合の定常分布を分析し、一様および非一様測度に関する先行研究を拡張する。
• 定常測度が一様になる条件を明確化すること、特に欠际の対角性および量子コイン構造との関係を特定すること。
• 特にKonnoら[14]の結果を拡張し、欠际効果を組み込むことで、対角量子ウォークにおける定常測度の一般化を図ること。
• 将来的に複数の欠际やトポロジカル不変量への応用を想定し、定常測度の性質に基づく対角量子ウォークの分類の基盤を構築すること。

提案手法

• 量子ウォークの時間発展演算子に関連する固有値問題を解くために、散乱グリーン関数（SGF）法を適用する。
• バッキングには対角ユニタリ行列を、x=0における欠际には非対角行列を用い、位相パラメータσ±および一般の複素数成分を含む。
• 波動関数振幅Ψ^L(0), Ψ^R(0), Ψ^L(1), Ψ^R(-1)およびその複素共役を変数とする関数として定常測度μ(x)を導出する。
• 固有値λ = ±√(Δ^(±)e^{iσ±})を用いて定常測度の成分を特定し、Δ^(±)が固定されている限り、σ±の具体的な値に依存しないことを示す。
• 3状態の空間均一な対角QWに同様の手法を適用し、単純化された測度表現を導出する。
• 2状態および3状態のケースを比較することで、定常測度が欠际の種別および内部状態数にどのように依存するかを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対角量子ウォークに1つの欠际を有する場合、どのような条件下で定常測度が一様になるか？
• RQ2 非対角欠际が存在する場合、定常測度の形および空間依存性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 対角ユニタリ行列の行列式および位相パラメータが定常測度の形状に果たす役割は何か？
• RQ4 内部状態数（2対3）の違いが、対角量子ウォークにおける定常測度の構造にどのように影響するか？
• RQ5 SGF法を、複数の欠际を含むすべての対角量子ウォークにおける定常測度の分類に体系的に拡張可能か？

主な発見

• 1欠际を有する2状態対角量子ウォークの定常測度は一般に非一様であり、欠际行列の複素成分および初期状態の振幅に依存する。
• 測度は指数的減衰を示さず、バッキングのパラメータが対角であっても、欠际の構造および初期コイン状態の影響を強く受ける。
• 3状態の空間均一な対角QWでは、定常測度はx ≠ 0に対してμ(x) = |α|² + |β|²、x = 0に対してμ(0) = |α|² + |γ|² + |β|²と表され、明示的な位置依存性を示す。
• 欠际が対角である場合、バッキングパラメータに依存せず定常測度は一様になることが確認され、Konnoら[14]の主要結果を裏付ける。
• 固有値λ = ±√(Δ^(±)e^{iσ±})が定常測度を決定し、Δ^(±)が固定されている限り、σ±の具体的な値に依存しない。
• 本手法は、先行研究の結果を成功裏に一般化し、定常測度の一様性のための十分条件として、欠际の対角性が成立することを示した。