[論文レビュー] The sunrise integral and elliptic polylogarithms

Luise Adams, Christian Bogner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

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ひとこと要約

本稿では、2次元および4次元時空における質量のある太陽線ファインマン積分を体系的かつ正確に計算するため、E関数およびELi関数と呼ばれる新しいクラスの楕円型多変数対数関数を導入する。これらの関数は反復積分構造と微分方程式の性質を活用し、2次元では任意の質量に対して正確な結果を得られ、等質量の場合には任意の次数のローレンツ展開を計算可能となる。古典的多変数対数関数では到達できない領域をカバーする。

ABSTRACT

We summarize recent computations with a class of elliptic generalizations of polylogarithms, arising from the massive sunrise integral. For the case of arbitrary masses we obtain results in two and four space-time dimensions. The iterated integral structure of our functions allows us to furthermore compute the equal mass case to arbitrary order.

研究の動機と目的

• 特定の多重ループファインマン積分、特に質量のある太陽線積分を記述する際に古典的多変数対数関数の限界を克服すること。
• 任意の質量および次元における太陽線積分の構造を捉えることのできる、多変数対数関数の楕円的一般化である新しい関数クラスの開発。
• 次元正則化における太陽線積分のローレンツ展開を任意の次数まで体系的に計算するフレームワークの提供。
• 等質量・2次元の場合に既知の結果を、微分方程式および反復積分に基づくアルゴリズムによって、すべての次数にまで拡張すること。

提案手法

• 関数 $ x^j / j^n $, $ y^k / k^m $, および $ q^{jk} $ を含む二重和を用いて、古典的多変数対数関数を楕円的構造へ一般化した新しい関数クラス、ELi関数を定義する。
• E関数は、ELi関数と反射対称性、正規化因子を組み合わせることで構成され、楕円曲線に関連するモジュラー性および周期的性質を保証する。
• E関数が持つ反復積分構造を活用し、次元正則化における太陽線積分から生じる微分方程式を解く。
• 次元シフト関係を適用して、2次元から4次元への結果の拡張を行い、$ \mathcal{O}(\epsilon^0) $ および $ \mathcal{O}(\epsilon) $ の係数を結びつける。
• 2次元における等質量ケースに対して再帰的アルゴリズムを構築し、各ローレンツ係数 $ \tilde{S}^{(j)} $ をELi関数の反復積分として表現する。
• E関数クラスが $ dq/q $ での積分および乗算に関して閉じていることを利用し、すべての結果が定義された関数空間内に留まることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的多変数対数関数の範囲を超えて、質量のある太陽線積分を体系的に記述できる新しい楕円型多変数対数関数のクラスを構築することは可能か？
• RQ2 2次元および4次元時空における任意の質量に対して、これらの新しい関数を用いて太陽線積分をどのように計算できるか？
• RQ3 このフレームワークを用いて、等質量太陽線積分の次元正則化におけるすべての次数のローレンツ展開を計算することは可能か？
• RQ4 反復積分構造が、微分方程式に基づく再帰的計算によって高次係数を導出可能にする役割は何か？
• RQ5 新しいE関数は、既知の楕円型多変数対数関数および楕円曲線上のモジュラー形式とどのように関係しているか？

主な発見

• 任意の質量を持つ2次元時空における太陽線積分は、E関数と多重多変数対数関数を用いて表現され、$ \epsilon $-展開のすべての次数に対して有効である。
• 4次元では、次元シフト関係を用いて $ \mathcal{O}(\epsilon^0) $ 係数を明示的に計算し、2次元における $ \mathcal{O}(\epsilon) $ 結果と結びつける。
• 2次元における等質量ケースでは、ローレンツ級数のすべての係数 $ \tilde{S}^{(j)} $ が再帰的アルゴリズムによりE関数および古典的多変数対数関数で体系的に表現可能である。
• $ S^{(1)}(2,t) $ の微分方程式は一階および二階の作用素に分解され、定数変化法を用いてE関数による明示的解が得られる。
• $ S^{(1)}(2,t) $ の非同次項には質量の対数および $ \mathcal{O}(\epsilon^0) $ 係数が含まれており、後者は自身がE関数で表現される。
• $ S^{(1)}(2,t) $ に寄与する関数 $ E_R^{(1)} $ は、$ \textrm{Li}_2, \textrm{Li}_3, \textrm{Li}_{2,1}, \textrm{E}_{3;1}, \textrm{E}_{0,1;-2,0;4} $ の線形結合として示され、必要な操作に関して閉じていることが確認された。