[論文レビュー] The SYZ mirror symmetry and the BKMP remodeling conjecture

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 83被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、SYZ鏡対称性とBKMPリモデリング予想を組み合わせることで、特異点をもつトーリックCalabi-Yau 3-軌道体の全種数の子供鏡対称性を確立する。Eynard-Orantinトポロジカル帰納法の不変量が、開・閉Gromov-Witten不変量の全生成関数を再現することを証明し、予想を軌道体の場合に拡張し、量子化と鏡対称性を用いたグラフ和の公式を提示する。

ABSTRACT

The Remodeling Conjecture proposed by Bouchard-Klemm-Mariño-Pasquetti (BKMP) relates the A-model open and closed topological string amplitudes (open and closed Gromov-Witten invariants) of a symplectic toric Calabi-Yau 3-fold to Eynard-Orantin invariants of its mirror curve. The Remodeling Conjecture can be viewed as a version of all genus open-closed mirror symmetry. The SYZ conjecture explains mirror symmetry as $T$-duality. After a brief review on SYZ mirror symmetry and mirrors of symplectic toric Calabi-Yau 3-orbifolds, we give a non-technical exposition of our results on the Remodeling Conjecture for symplectic toric Calabi-Yau 3-orbifolds. In the end, we apply SYZ mirror symmetry to obtain the descendent version of the all genus mirror symmetry for toric Calabi-Yau 3-orbifolds.

研究の動機と目的

• シンプレクティックトーリックCalabi-Yau 3-軌道体へのBKMPリモデリング予想の拡張を目的とする。
• これらの軌道体に対する全種数鏡対称性の子供版を確立すること。
• Eynard-Orantin不変量が鏡曲線上で開・閉Gromov-Witten不変量の全生成関数を計算することを証明すること。
• 軌道体設定におけるSYZ鏡対称性、トポロジカル帰納法、Givental量子化を統合すること。

提案手法

• SYZ鏡対称性を用い、Aモデルにおけるラグランジュ的ブレーンを鏡曲線上のサイクルに関連付ける。
• 鏡曲線 $ C_q $ に対してEynard-Orantinトポロジカル帰納法を適用し、高種数不変量 $ \omega_{g,n} $ を生成する。
• GKM軌道体における等加法的Gromov-Witten理論の全子供生成関数のグラフ和の公式を用いる。
• Giventalの量子化公式およびそのGKM軌道体への一般化を用い、生成関数を装飾付き安定グラフの和として表現する。
• 重みの等式 $ w_B(\vec{\Gamma}) = (-1)^{g-1+n}|G|^n w_A(\vec{\Gamma}) $ を用いて、$ \omega_{g,n} $ のグラフ和とGromov-Witten不変量のグラフ和を一致させる。
• Iritaniの振動積分定理を適用し、SYZ変換された層と子供不変量を関連付け、$ \int e^{\hat{x}/z} ydx $ を $ \left\langle \frac{\kappa(L)}{z - \psi} \right\rangle_{0,1} $ に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BKMPリモデリング予想は、滑らかでないトーリックCalabi-Yau 3-軌道体に対しても拡張可能か？
• RQ2 SYZ鏡対称性は、Aモデルの開・閉振幅を、鏡曲線上のBモデル不変量とどのように関連付けるか？
• RQ3 軌道体設定におけるEynard-Orantin不変量 $ \omega_{g,n} $ とGromov-Witten不変量 $ F^\mathcal{X}_{g,n} $ の正確な対応関係は何か？
• RQ4 子供版の全種数鏡対称性は、SYZ変換と振動積分から導出可能か？
• RQ5 鏡対称性下で、Gromov-Witten生成関数とトポロジカル帰納法不変量のグラフ和の公式はどのように一致するか？

主な発見

• BKMPリモデリング予想は、すべての半射的トーリックCalabi-Yau 3-軌道体に対して証明され、以前のアフィン軌道体の結果を拡張する。
• Eynard-Orantin不変量 $ \omega_{g,n} $ と開Gromov-Witten不変量 $ F^{\mathcal{X},\mathcal{L}}_{g,n} $ の対応関係は、すべての $ (g,n) $ に対して、定数および二次多項式の違いを除き成り立つ。
• すべての装飾付きグラフ $ \vec{\Gamma} $ に対して、重みの等式 $ w_B(\vec{\Gamma}) = (-1)^{g-1+n}|G|^n w_A(\vec{\Gamma}) $ が確立され、グラフ和の公式の同値性が証明される。
• 子供版の全種数鏡対称性が証明される：$ \int_{\gamma(L_1)\times\cdots\times\gamma(L_n)} e^{\sum \hat{x}_i/z_i} \omega_{g,n} = \left\langle \frac{\kappa(L_1)}{z_1 - \psi_1} \cdots \frac{\kappa(L_n)}{z_n - \psi_n} \right\rangle_{g,n} $。
• 振動積分 $ \int_{\mathrm{SYZ}(\mathcal{F})} e^{\widetilde{W}/z} \Omega $ は、種数0の子供生成関数 $ \left\langle \frac{\kappa(\mathcal{F})}{z - \psi} \right\rangle_{0,1} $ と一致し、SYZに基づく構成の妥当性が裏付けられる。
• 証明は、滑らかなトーリックDMスタックの種数0鏡定理と、鏡対称性下でのグラフ和展開の整合性に依拠する。