[論文レビュー] The tail process and tail measure of continuous time regularly varying stochastic processes

Philippe Soulier|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 52被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、離散時間の正則変動過程に用いられてきたテール過程およびテール測度の理論を、右連続左極限をもつサンプルパスをもつ連続時間確率過程へと拡張する。$J_1$位相の下でこれらの道具が有効であることを確立し、同次的でシフト不変な測度の構造的表現を示し、正則変動のための条件を導出し、極値分布の最大安定および和安定過程への応用を含む。

ABSTRACT

The goal of this paper is to investigate the tools of extreme value theory originally introduced for discrete time stationary stochastic processes (time series), namely the tail process and the tail measure, in the framework of continuous time stochastic processes with paths in the space $\\mathcal{D}$ of c\\`adl\\`ag functions indexed by $\\mathbb{R}$, endowed with Skorohod's $J_1$ topology. We prove that the essential properties of these objects are preserved, with some minor (though interesting) differences arising. We first obtain structural results which provide representation for homogeneous shift-invariant measures on $\\mathcal{D}$ and then study regular variation of random elements in $\\mathcal{D}$. We give practical conditions and study several examples, recovering and extending known results.

研究の動機と目的

• 極値理論の枠組み、特に離散時間から連続時間の正則変動確率過程へのテール過程およびテール測度の拡張を図ること。
• 空間 $\mathcal{D}$（右連続左極限関数の空間）上における $J_1$ 位相の下で、同次的でシフト不変な測度の存在および構造的性質を確立すること。
• $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 内の確率的要素の正則変動のための実用的条件を提供し、テール過程およびテール測度が適切に定義され、統計的推論に有用であることを保証すること。
• 提案された連続時間枠組みを用いて、既知の最大安定および和安定過程に関する結果を回復・拡張すること。
• アンチクラスタリング条件およびクラスタの点過程が、連続時間における極値的依存性を特徴付ける役割を明確にすること。

提案手法

• 空間 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ に $J_1$ 位相を導入し、その上で曖昧収束の理論を用いて連続時間過程の正則変動を定義する。
• 同次的でシフト不変な測度のスペクトル表現を導出し、離散時間の結果を一般化する。
• 混合移動平均表現を導入し、テール測度をクラスタの点過程と関連付ける。
• アンカリング写像を用いてテール測度とテール過程を接続し、同次性およびシフト不変性を保つ。
• 安定過程およびポアソン点過程の技術を用いて、$\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)|$ のような関数の極値的挙動を分析する。
• モーメントの上限および指数モーメントの推定（例：$G(y)$ および $\Gamma_j$ を用いて）を用いて、極限における収束性およびテール指数の一貫性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間の時系列におけるテール過程およびテール測度の概念を、右連続左極限パスをもつ連続時間確率過程へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 $J_1$ 位相の下で、空間 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 上の同次的でシフト不変な測度の構造的性質は何か？
• RQ3 連続時間確率過程が $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ で正則変動を示すための条件は何か？
• RQ4 アンチクラスタリング条件は、連続時間におけるクラスタ構造および極値的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 提案された連続時間枠組みを用いて、既知の最大安定および和安定過程に関する結果を回復・拡張できるか？

主な発見

• テール過程およびテール測度は、$J_1$ 位相の下で連続時間の正則変動確率過程に対して適切に定義され、離散時間の主要な性質を保っている。
• 同次的でシフト不変な測度はスペクトル表現をもち、混合移動平均による表現も可能であり、離散時間の結果が拡張されている。
• 同次性およびシフト不変性のおかげで、テール測度がテール過程を完全に決定し、逆にテール過程がテール測度を決定する。これは、離散時間で確立された双対性が保たれていることを確認する。
• 和安定過程（$\alpha \in (0,2)$）に対して、上界関数 $\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)|$ のテール指数は正確に $\alpha$ であり、$\limsup_{x\to\infty} x^\alpha \mathbb{P}(\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)| > x) = 1$ によって示されている。
• 連続時間におけるクラスタの点過程は、離散時間の場合と同様の性質を継承しており、ポアソン点過程および正規化された安定過程を用いて分布が特徴づけられる。
• テール指数の証明技法は、モーメントの上限および指数モーメントの推定に依拠しており、テール確率が正確な定数を伴って $x^{-\alpha}$ のオーダーで減少することを示している。