[論文レビュー] The tangent bundle of a model category

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、モデル圏 M に対して、その基礎となる ∞-圏 M∞ の ∞-カテゴリー的接束を提示するモデル圏的接束 TM → M を構成する。TM は M 上の相対的モデル圏として構成され、各ファイバーは M/A のスペクトルをモデル化する。M が適切な圏 S 上でテンソル化されているとき、TM は豊富な構造を引き継ぎ、オペラド上の代数や豊富な圏への応用が可能になる。

ABSTRACT

This paper studies the homotopy theory of parameterized spectrum objects in a model category from a global point of view. More precisely, for a model category $\mathcal{M}$ satisfying suitable conditions, we construct a relative model category $\mathcal{TM} o \mathcal{M}$, called the tangent bundle, whose fibers are models for spectra in the various over-categories of $\mathcal{M}$, and which presents the $\infty$-categorical tangent bundle. Moreover, the tangent bundle $\mathcal{TM}$ inherits an enriched model structure when such a structure exists on $\mathcal{M}$. This additional structure is used in subsequent work to identify the tangent bundles of algebras over an operad and of enriched categories.

研究の動機と目的

• モデル圏 M におけるパラメータ付きスペクトルのホモトピー論のグローバルでモデル圏的な枠組みを構築すること。
• 各ファイバーが M/A のスペクトルをモデル化する相対的モデル圏 TM → M を構成し、M∞ の ∞-カテゴリー的接束を提示すること。
• M が適切なモデル圏 S 上でテンソル化されているとき、TM が豊富なモデル構造を引き継ぐことを示し、オペラド上の代数や豊富な圏への応用を容易にすること。
• モデル圏的接束 TM と ∞-カテゴリー的接束 ∫A∈M∞ Sp((M∞)/A) の間の比較を確立し、それらが同値であることを示すこと。
• 単体的または Quillen 隣接構造を必要としない状況でも、M のモデル圏におけるスペクトルの圏と M∞ の ∞-カテゴリー的安定化との間の Quillen 同値性を提供すること。

提案手法

• スペクトル対象を、非対角成分が弱いゼロ対象であり、対角の四角形がホモトピーカルテジアンである (N × N)-図式として定義する。
• このようなスペクトル対象のモデル圏 Sp(M) を構成し、∞-カテゴリー的同値性により M∞ の安定化を提示することを示す。
• TM を M 上の相対的モデル圏として、M × M 上のグローバル図式圏の構成を用いて定義する。
• TM の対象 A ∈ M におけるファイバーが Sp(MA//A) と同値であり、A における ∞-カテゴリー的接圏をモデル化することを証明する。
• 相対圏および Quillen 隣接の理論を用いて、射影 π: TM → M が TM が ∞-カテゴリー的接束のモデルとして機能することを示す。
• M が対称モノイダルモデル圏 S 上でテンソル化されているとき、TM が S-豊富なモデル構造を引き継ぐことを確立し、豊富なホモトピー論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的または Quillen 隣接構造を必要としない状況で、∞-圏 M∞ の ∞-カテゴリー的接束のモデル圏的提示をどのように構成できるか。
• RQ2 M におけるスペクトル対象のモデル圏が M∞ の安定化を提示するための条件は何か。
• RQ3 M が対称モノイダルモデル圏上でのテンソル化を持つとき、モデル圏 M の接束に豊富なモデル構造を導入できるか。
• RQ4 モデル圏的接束 TM と ∞-カテゴリー的接束 ∫A∈M∞ Sp((M∞)/A) の関係は何か。
• RQ5 Ω-スペクトルと削減された excisive 関手は、モデル圏的設定における安定化の異なるモデルを比較する際に果たす役割は何か。

主な発見

• モデル圏 TM → M は、各対象 A ∈ M におけるファイバーが M/A のスペクトルのモデル圏に同値である相対的モデル圏として構成され、A における ∞-カテゴリー的接圏を提示する。
• サスペンションとループ関手の Quillen 隣接構造の存在に依存しないため、単体的でない文脈（例えば豊富な圏やオペラド）にも適用可能である。
• M が左適切かつ結合的モデル圏であるとき、誘導された ∞-関手 π∞: (TM)∞ → M∞ は (TM)∞ が M∞ の接束であることを示し、Lurie の ∞-カテゴリー的枠組みと整合することが確認される。
• M∞ の安定化は、MN×N 内の Ω-スペクトルのフル部分圏 Sp′(M) によってモデル化され、このモデルは Sp(M) と Quillen 同値であるため、普遍的な安定化構成が得られる。
• M が対称モノイダルモデル圏 S 上でテンソル化されているとき、TM は S-豊富なモデル構造を引き継ぎ、オペラド上の代数や豊富な圏の接圏を分析する上で不可欠である。
• モデル圏的接束と ∞-カテゴリー的接束の比較は、∞-圏 (TM)∞ と ∫A∈M∞ Sp((M∞)/A) の間の Quillen 同値性により確立され、この構成の正当性が確認される。