[論文レビュー] Tighter Estimates for epsilon-nets for Disks

Norbert Bus, Shashwat Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、デローニー三角形分割を用いた、平面内の円盤のための$\epsilon$-ネットを計算する構成的アルゴリズムを提示する。これにより、従来の$40/\epsilon$よりも著しくタイトな$13.4/\epsilon$の上界が達成された。実験結果では、実用的なネットサイズが$9/\epsilon$前後であることが示され、理論的および実験的両面で先行研究を改善している。

ABSTRACT

The geometric hitting set problem is one of the basic geometric combinatorial optimization problems: given a set $P$ of points, and a set $\mathcal{D}$ of geometric objects in the plane, the goal is to compute a small-sized subset of $P$ that hits all objects in $\mathcal{D}$. In 1994, Bronniman and Goodrich made an important connection of this problem to the size of fundamental combinatorial structures called $ε$-nets, showing that small-sized $ε$-nets imply approximation algorithms with correspondingly small approximation ratios. Very recently, Agarwal and Pan showed that their scheme can be implemented in near-linear time for disks in the plane. Altogether this gives $O(1)$-factor approximation algorithms in $ ilde{O}(n)$ time for hitting sets for disks in the plane. This constant factor depends on the sizes of $ε$-nets for disks; unfortunately, the current state-of-the-art bounds are large -- at least $24/ε$ and most likely larger than $40/ε$. Thus the approximation factor of the Agarwal and Pan algorithm ends up being more than $40$. The best lower-bound is $2/ε$, which follows from the Pach-Woeginger construction for halfspaces in two dimensions. Thus there is a large gap between the best-known upper and lower bounds. Besides being of independent interest, finding precise bounds is important since this immediately implies an improved linear-time algorithm for the hitting-set problem. The main goal of this paper is to improve the upper-bound to $13.4/ε$ for disks in the plane. The proof is constructive, giving a simple algorithm that uses only Delaunay triangulations. We have implemented the algorithm, which is available as a public open-source module. Experimental results show that the sizes of $ε$-nets for a variety of data-sets is lower, around $9/ε$.

研究の動機と目的

• 平面内の円盤の幾何的範囲空間における$\epsilon$-ネットサイズの、既知の最良の上界と下界の間の大きな隔たりを埋めること。
• 従来の手法で用いられる複雑な動的データ構造に依存しない、実用的でほぼ線形時間の$\epsilon$-ネット計算アルゴリズムを設計すること。
• デローニー三角形分割に基づく構成的アプローチを提供し、これにより従来手法よりも明確にタイトな境界を達成すること。
• 多様な実世界および合成データセットを用いて理論的境界の実証的妥当性を検証すること。
• 円盤の幾何的ヒットセット問題に対する、より高速で理論的に保証された良い近似アルゴリズムを可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、デローニー三角形分割に基づく再帰的サンプリング戦略を用いて$\epsilon$-ネットを構築し、複雑な動的データ構造を避ける。
• デローニー三角形分割の幾何的性質を活用して、大きな円盤をすべてカバーする点を効率的に特定・サンプリングする。
• サンプリング確率と幾何的パッキングから導かれる定数を用いた再帰的不等式を用いて、ネットの期待サイズを解析的に評価する。
• サンプリング確率を$\frac{c_1}{\epsilon n}$で制御するパrameter $c_1$ を使用し、$c_1 = 12$ とすると理論的上界として$13.4/\epsilon$が得られる。
• 再帰的実行時間の再帰関係が、$\mathbb{E}[T(n)] \leq c n \log n$ を満たすことを確認することで、$O(n \log n)$ の期待実行時間であることを示した。
• 実装ではCGALを用いてデローニー三角形分割と最近傍探索を実行し、公平な比較のため単一スレッドで実行した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面内の円盤の$\epsilon$-ネットサイズの上界を$40/\epsilon$未満に低下させることは可能か？
• RQ2 複雑な動的データ構造に依存せずに、実用的でほぼ線形時間の$\epsilon$-ネット構築アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 実世界および合成データセットにおける$\epsilon$-ネット構築の実際の性能はいかほどか？
• RQ4 理論的上界$13.4/\epsilon$は実際の状況でも達成可能であり、既存の構成法よりも改善されるか？
• RQ5 理論的上界と既存の最良の下界$2/\epsilon$との間に顕著な隔たりがあるか？

主な発見

• 本稿では、平面内の円盤のための$\epsilon$-ネットサイズに、$13.4/\epsilon$という新たな理論的上界を確立した。これは、従来の最良の$40/\epsilon$よりも顕著に改善されたものである。
• アルゴリズムは構成的であり、期待計算量$O(n \log n)$で実行可能であり、ほぼ線形時間のヒットセット近似に適している。
• MOPSI, KDDCUP, Europe, Birch3, Uniform, Gauss9 など多様なデータセットを用いた実験結果から、平均的な$\epsilon$-ネットサイズが$9/\epsilon$前後であることが示され、理論的上界を著しく下回っている。
• サンプリング確率$\frac{c_1}{\epsilon n}$において$c_1 = 12$とすると理論的ネットサイズは$13.4/\epsilon$、$c_1 = 7$とするとより小さい実効的ネットサイズ$\approx 9/\epsilon$が得られる。
• デローニー三角形分割に基づく再帰的サンプリング法は、期待ネットサイズと実行時間の両方を適切に制御でき、$c \geq 2d$ に対して再帰的関係$\mathbb{E}[T(n)] \leq c n \log n$ を満たすことが確認された。
• 実装はオープンソースであり、公開モジュールとして提供されており、さまざまなデータ分布において実用的かつ効率的であることが示された。