[論文レビュー] Time Complexity of Constraint Satisfaction via Universal Algebra

Peter Jönsson, Victor Lagerkvist+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、代数的CSP二分法予想と指数時間仮説（ETH）の下で、NP完全な有限ドメイン制約充足問題（CSP）は、いかなるサブ指数時間アルゴリズムも持たないことを確立している。各有限ドメイン $D$ に対して、CSP($\{S_D\}$) が $D$ 上のすべてのNP完全CSPの時間計算量のタイトな下界をなす普遍的関係 $S_D$ を特定し、$|D|$ が増加するにつれてこの下界が0に近づくことを示しており、これは任意の $c>1$ に対して、$O(c^n)$ 時間で解けるNP完全CSPが存在することを示唆している。

ABSTRACT

The exponential-time hypothesis (ETH) states that 3-SAT is not solvable in subexponential time, i.e. not solvable in O(c^n) time for arbitrary c > 1, where n denotes the number of variables. Problems like k-SAT can be viewed as special cases of the constraint satisfaction problem (CSP), which is the problem of determining whether a set of constraints is satisfiable. In this paper we study thef worst-case time complexity of NP-complete CSPs. Our main interest is in the CSP problem parameterized by a constraint language Gamma (CSP(Gamma)), and how the choice of Gamma affects the time complexity. It is believed that CSP(Gamma) is either tractable or NP-complete, and the algebraic CSP dichotomy conjecture gives a sharp delineation of these two classes based on algebraic properties of constraint languages. Under this conjecture and the ETH, we first rule out the existence of subexponential algorithms for finite-domain NP-complete CSP(Gamma) problems. This result also extends to certain infinite-domain CSPs and structurally restricted CSP(Gamma) problems. We then begin a study of the complexity of NP-complete CSPs where one is allowed to arbitrarily restrict the values of individual variables, which is a very well-studied subclass of CSPs. For such CSPs with finite domain D, we identify a relation SD such that (1) CSP({SD}) is NP-complete and (2) if CSP(Gamma) over D is NP-complete and solvable in O(c^n) time, then CSP({SD}) is solvable in O(c^n) time, too. Hence, the time complexity of CSP({SD}) is a lower bound for all CSPs of this particular kind. We also prove that the complexity of CSP({SD}) is decreasing when |D| increases, unless the ETH is false. This implies, for instance, that for every c>1 there exists a finite-domain Gamma such that CSP(Gamma) is NP-complete and solvable in O(c^n) time.

研究の動機と目的

• 指数時間仮説（ETH）の下で、NP完全制約充足問題（CSP）の最悪ケース時間計算量を特定すること。
• 制約言語 $\Gamma$ の選択がCSP($\Gamma$)の時間計算量に与える影響を調査すること。
• 有限ドメイン $D$ 上のすべてのNP完全CSPの時間計算量の下界をなす普遍的関係 $S_D$ を特定すること。
• ドメインサイズ $|D|$ が増加するにつれて、時間計算量の閾値 $\sf T(\{S_D\})$ の挙動を調査すること。

提案手法

• 多様体の多様体代数に基づくCSPの分類に、代数的CSP二分法予想を用い、CSPを容易またはNP完全に分類する。
• 指数時間仮説（ETH）を適用し、NP完全な有限ドメインCSPに対してサブ指数時間アルゴリズムが存在しないことを除外する。
• ドメイン $D$ 上の関係 $S_D$ を導入し、$D$ 上のすべてのCSPの下界をなす標準的なNP完全CSPインスタンスを構築する。
• 変数の頻度と固定値伝播に基づくプルーニングを伴う、$S_D$ のタプルに従って分岐する再帰的バックトラッキングアルゴリズムを設計する。
• 再帰関係による時間計算量の解析：$T(n) = 3T(n - \lfloor \frac{k(k-1)(k-2)}{k^2} \rfloor) + \text{poly}(||I||)$、ここで $k = |D|$。
• 再帰関係の漸近的解析により、指数 $\frac{k^2}{k(k-1)(k-2)}$ が $k \to \infty$ のとき0に近づくことを示し、$\inf \sf T(\{S_D\}} = 0$ を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的CSP二分法予想とETHの下で、NP完全な有限ドメインCSPのいずれかがサブ指数時間アルゴリズムを持つだろうか？
• RQ2 CSP($\{S_D\}$) がNP完全であり、有限ドメイン $D$ 上のすべてのNP完全CSPの下界をなす普遍的関係 $S_D$ が存在するだろうか？
• RQ3 ドメインサイズ $|D|$ が増加するにつれて、時間計算量の閾値 $\sf T(\{S_D\})$ はどのように変化するだろうか？
• RQ4 任意の $c>1$ に対して、$O(c^n)$ 時間で解けるCSPが、すべての有限ドメイン $D$ に対して保証されるだろうか？

主な発見

• 代数的CSP二分法予想とETHの下で、NP完全な有限ドメインCSPのいずれに対してもサブ指数時間アルゴリズムは存在しない。
• すべての有限ドメイン $D$ に対して、CSP($\{S_D\}$) はNP完全であり、$D$ 上のすべてのNP完全CSPの時間計算量の下界をなす。
• 時間計算量の閾値 $\sf T(\{S_D\})$ は $|D|$ の増加とともに減少し、$\inf \{ \sf T(\{S_D\}) \mid |D| \geq 2 \} = 0$ である。
• 任意の $c > 1$ に対して、CSP($\Gamma$) がNP完全であり、$O(c^n)$ 時間で解ける有限ドメイン制約言語 $\Gamma$ が存在する。
• CSP($\{S_D\}$) の再帰的アルゴリズムは、$O(3^{n \cdot \frac{k^2}{k(k-1)(k-2)}} \cdot \text{poly}(||I||))$ の時間計算量を達成し、$k = |D| \to \infty$ のとき指数が0に近づく。
• この結果は、有限ドメイン上の任意のNP完全CSPに対してサブ指数時間アルゴリズムが存在するならば、ETHに矛盾することを示唆している。