[論文レビュー] Topological Chern-Simons/Matter Theories

Mina Aganagic, Kevin Costello+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、計量に依存しない変形のもとで位相的不変性を保つ、横断的正則foliation（THF）構造を持つ3次元多様体上に配置された物質場と結合する部分的に位相的3次元Chern-Simons/物質理論を提案する。この理論は、ラグランジュ3-braneおよびコイサイロトロピック5-brane上の位相的Aモデルのストリング理論から生じ、THF多様体上でのN=2超対称Chern-Simons物質理論と等価であることが示され、局在化とリンク不変量を用いて分割関数が計算可能である。

ABSTRACT

We propose a new partially topological theory in three dimensions which couples Chern-Simons theory to matter. The 3-manifolds needed for this construction admit transverse holomorphic foliation (THF). The theory depends only on the choice of such a structure, but not on a choice of metric and in this sense, it is topological. We argue that this theory arises in topological A-model string theory on Lagrangian 3-branes in the presence of additional parallel coisotropic 5-branes. The theory obtained in this way is equivalent to an N=2 supersymmetric Chern-Simons matter theory on the same 3-manifold, which also only depends on the THF structure. The theory is a realization of a topological theory of class H, which allows splitting of a temporal direction from spatial directions. We briefly discuss potential condensed matter applications.

研究の動機と目的

• 横断的正則foliation（THF）構造の制約のもとで、Chern-Simonsゲージ理論と物質場を結合させつつ、位相的不変性を保つ3次元量子場理論を構築すること。
• 提案されたChern-Simons/物質理論とTHF多様体上でのN=2超対称Chern-Simons物質理論との等価性を確立すること。
• 分割関数が計量に依存せずTHF構造にのみ依存することを、閉じた軌道への局在化により示すこと。
• 非コンパクトなCalabi-Yau 3-foldにラグランジュ3-braneおよびコイサイロトロピック5-braneが存在する位相的ストリング理論において、この理論が自然に出現することを示すこと。
• この理論が、Chern-Simons理論に結合する動的anyonの有効低エネルギー理論として、凝縮系系において実現可能かどうかを検討すること。

提案手法

• THFを有する3次元多様体上で理論を定義し、tを実数の「時間」方向、zを複素数の座標とする局所座標(t,z)を用い、foliation構造を保存する遷移関数を採用する。
• THFを保存する微分同相変換に関して不変となるように、計量に依存しないChern-Simons理論と物質場の結合作用を構築する。
• 局在化技術を用いて、分割関数がfoliationの閉じた葉からの寄与に局在化することを主張し、経路積分を有限次元積分に還元する。
• 物質場の統合により分割関数を導出し、標準的Chern-Simons理論におけるリンク不変量の積を含む式を得る。
• 特にM³ = S³およびS²×S¹の場合に、積層Calabi-Yau上の位相的ストリング理論の分割関数とChern-Simons/物質理論の分割関数が一致することを示す。
• THF多様体上での3次元N=2超対称Chern-Simons物質理論における位相的ねじれが、提案された位相的理論と同じ分割関数を再現することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chern-Simons理論を物質場と結合させつつ、位相的不変性をどのように保てるか？
• RQ2 横断的正則foliation（THF）構造が、部分的に位相的3次元量子場理論を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 提案された理論の分割関数がTHF構造にのみ依存し、計量に依存しないのはなぜか？
• RQ4 非コンパクトなCalabi-Yau 3-foldにラグランジュ3-braneおよびコイサイロトロピック5-braneが存在する位相的ストリング理論が、Chern-Simons/物質理論と同じ分割関数を再現できるか？
• RQ5 この理論は、Chern-Simonsゲージ場に結合する動的anyonの有効低エネルギー理論として、凝縮系系において実現可能か？

主な発見

• 提案されたChern-Simons/物質理論は部分的に位相的であり、3次元多様体の計量ではなく、横断的正則foliation（THF）構造にのみ依存する。
• 分割関数はfoliationの閉じた葉からの寄与に局在化され、物質場の統合により計算され、標準的Chern-Simons理論のリンク不変量の積を含む式が得られる。
• M³ = S³およびS²×S¹の場合に、分割関数が明示的に計算され、N=2超対称Chern-Simons物質理論の分割関数と一致し、パrameter b, k, mにおいて正確に一致する。
• 分割関数は Z = ∑_{R,Q} (-1)^{|R|+|Q|} T_R^{b²} S_RQ(q) T_R^{b^{-2}} Tr_{R^T} V(b,m) Tr_{Q^T} V(1/b,m) と与えられ、これは位相的ストリング理論の分割関数と一致する。
• 理論は「クラスH」位相的場理論を実現しており、THF構造によって時間と空間が区別され、凝縮系系における物理的解釈が可能になる。
• モデルは、Chern-Simons理論に結合する動的anyonの有効低エネルギー記述としての可能性を示唆しており、S¹のコンパクト化が化学ポテンシナルを介して熱的または回転的効果を符号化している。