[論文レビュー] Topological Strings, Two-Dimensional Yang-Mills Theory and Chern-Simons Theory on Torus Bundles

Nicola Caporaso, Michele Cirafici+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 58被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、トーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論、局所カルラヤ3-fold（トーラス上の2つのラインバンドルの和）上のトポロジカル弦理論、およびトーラスバンドル上のチェーン・シンモンズ理論の間の明確な対応関係を確立する。大N極限におけるヤン・ミルズ理論のチャーラルな分配関数が、トポロジカル・バーテックスを用いて計算されたトポロジカル弦の振幅と一致することを示し、グロモフ＝ウィッテン不変量、ハーツィュ・ナンバーズ、およびゴパクマール＝バーファ不変量の明示的関係を提示。全積分性が確認された。ゲージ理論はドナルドソン＝トーマス不変量の組合せ的解法を提供し、局所カルラヤ背景におけるBPSブラックホールの degeneracy を正確に計算可能にする。

ABSTRACT

We study the relations between two-dimensional Yang-Mills theory on the torus, topological string theory on a Calabi-Yau threefold whose local geometry is the sum of two line bundles over the torus, and Chern-Simons theory on torus bundles. The chiral partition function of the Yang-Mills gauge theory in the large N limit is shown to coincide with the topological string amplitude computed by topological vertex techniques. We use Yang-Mills theory as an efficient tool for the computation of Gromov-Witten invariants and derive explicitly their relation with Hurwitz numbers of the torus. We calculate the Gopakumar-Vafa invariants, whose integrality gives a non-trivial confirmation of the conjectured nonperturbative relation between two-dimensional Yang-Mills theory and topological string theory. We also demonstrate how the gauge theory leads to a simple combinatorial solution for the Donaldson-Thomas theory of the Calabi-Yau background. We match the instanton representation of Yang-Mills theory on the torus with the nonabelian localization of Chern-Simons gauge theory on torus bundles over the circle. We also comment on how these results can be applied to the computation of exact degeneracies of BPS black holes in the local Calabi-Yau background.

研究の動機と目的

• トーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論と局所カルラヤ3-fold上のトポロジカル弦理論の間の非摂動的双対性を確立すること。
• 2次元ヤン・ミルズ理論の有効なフレームワークを用いて、カルラヤ背景のグロモフ＝ウィッテン不変量を計算すること。
• 明示的計算を通じてゴパクマール＝バーファ不変量の積分性を確認し、非摂動的双対性を検証すること。
• ゲージ理論を用いて、局所カルラヤ幾何におけるドナルドソン＝トーマス不変量の組合せ的解法を導出すること。
• トーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論のインスタントン表現と、円上にトーラスバンドルをとるチェーン・シンモンズ理論の非可換局所化との間の正確な対応関係を確立すること。

提案手法

• 局所トーラス幾何を持つカルラヤ3-fold上のトポロジカル弦振幅を計算するためのトポロジカル・バーテックス形式主義の使用。
• 大N極限におけるトーラス上の2次元U(N)ヤン・ミルズ理論のチャーラル分配関数の計算。その結果、トポロジカル弦振幅と等価であることを示した。
• ゲージ理論的手法を用いて、トーラスのハーツィュ・ナンバーズとの間の関係を明示的に導出。
• ゲージ理論の分配関数からゴパクマール＝バーファ不変量を計算し、その積分性を確認することで、一貫性の確認を行った。
• ゲージ理論フレームワークを応用し、局所カルラヤ背景におけるドナルドソン＝トーマス不変量の組合せ的表現を導出。
• トーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論のインスタントン展開と、円上にトーラスバンドルを持つチェーン・シンモンズ理論における非可換局所化公式の一致を確認。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論のチャーラル分配関数は、局所カルラヤ3-fold上のトポロジカル弦振幅を再現するか？
• RQ2 カルラヤ背景のグロモフ＝ウィッテン不変量は、トーラスのハーツィュ・ナンバーズとどのように関係しているか？
• RQ3 ゲージ理論の積分から得られるゴパクマール＝バーファ不変量は整数であり、積分性の予想を満たすか？
• RQ4 局所カルラヤ幾何におけるドナルドソン＝トーマス不変量は、2次元ヤン・ミルズ理論を用いて組合せ的に計算可能か？
• RQ5 トーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論のインスタントン展開と、トーラスバンドル上のチェーン・シンモンズ理論の非可換局所化との間に正確な対応関係があるか？

主な発見

• 大N極限におけるトーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論のチャーラル分配関数は、トポロジカル・バーテックスを用いて計算されたトポロジカル弦振幅と正確に一致し、非摂動的双対性が裏付けられた。
• 局所カルラヤ3-foldのグロモフ＝ウィッテン不変量は、ゲージ理論的計算を通じて、トーラスのハーツィュ・ナンバーズと明示的に関係づけられた。
• ゲージ理論から導かれたゴパクマール＝バーファ不変量は整数であり、2次元ヤン・ミルズ理論とトポロジカル弦理論の間の予想された非摂動的双対性を強く支持する証拠を提供した。
• 局所カルラヤ背景のドナルドソン＝トーマス不変量は、2次元ヤン・ミルズ理論の分配関数から導かれた単純な組合せ的公式を用いて計算された。
• トーラス上の2次元ヤン・ミルズ理論のインスタントン表現が、トーラスバンドル上のチェーン・シンモンズ理論の非可換局所化公式と一致することが示され、直接的な場の理論的リンクが確立された。
• このフレームワークにより、局所カルラヤ背景におけるBPSブラックホールの degeneracy を正確に計算可能となり、OSV予想がトーラスファイバーを持つ幾何に拡張された。