[論文レビュー] Topology of unavoidable complexes

Duško Jojić, Wacław Marzantowicz+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、r-避けられない単体的複体の組合せ論とその削除ジョインのG-equivariant位相の間の位相的枠組みを確立し、r-避けられない複体のジョインがR^dにおいてほぼr-非埋め込み可能であることを証明している。中心的貢献は定理4.6であり、これはG-equivariantインデックス不等式を用いて、このようなジョインが位相的Tverberg条件を満たすことを示すことで、Tverberg型結果を一般化している。応用分野は組合せ位相論および協力的ゲーム理論に及ぶ。

ABSTRACT

The partition number $π(K)$ of a simplicial complex $K\subset 2^{[m]}$ is the minimum integer $ν$ such that for each partition $A_1\uplus\ldots\uplus A_ν= [m]$ of $[m]$ at least one of the sets $A_i$ is in $K$. A complex $K$ is $r$-unavoidable if $π(K)\leq r$. We say that a complex $K$ is globally $r$-non-embeddable in $\mathbb{R}^d$ if for each continuous map $f: | K| ightarrow \mathbb{R}^d$ there exist $r$ vertex disjoint faces $σ_1,\ldots, σ_r$ of $| K|$ such that $f(σ_1)\cap\ldots\cap f(σ_r) eq\emptyset$. Motivated by the problems of Tverberg-Van Kampen-Flores type we prove several results (Theorems 3.6, 3.9, 4.6) which link together the combinatorics and topology of these two classes of complexes. One of our central observations (Theorem 4.6), summarizing and extending results of G. Schild, B. Grünbaum and many others, is that interesting examples of (globally) $r$-non-embeddable complexes can be found among the joins $K = K_1\ast\ldots\ast K_s$ of $r$-unavoidable complexes.

研究の動機と目的

• r-避けられない単体的複体の位相的性質を形式化し拡張すること。
• 複体Kの組合せ的不変量π(K)と削除ジョインK^{*r}_ΔのG-equivariant位相の関係を確立すること。
• r-避けられない複体のジョインを用いた、ほぼr-非埋め込み可能複体を体系的に生成する方法を提供すること。
• Tverberg-Van Kampen-Flores理論、Gromovの制約法、およびゲーム理論的構成から得られる結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 任意のν分割がKに属する部分集合を持つ最小のνをπ(K)として定義し、π(K) ≤ rのときr-避けられない複体が得られることを示す。
• 削除ジョインK^{*r}_Δの位相的複雑さを測るため、G-equivariantインデックスInd_GおよびG-生成数γ_Gを用いる。
• π(K)とInd_G(K^{*r}_Δ)の間の不等式を確立し、特にr = p^kおよびG = (Z_p)^kのとき、Ind_G(K^{*r}_Δ) ≥ m − π(K)が成り立つことを示す。
• 定理4.6を証明し、r-避けられない複体K₁ * … * KₛのジョインKがR^dにおいてほぼr-非埋め込み可能であることを示す。
• 協力的ゲーム理論におけるしきい値複体にこの手法を適用し、q = w([n])/rを満たす重み付き過半数ゲームからr-避けられない複体が生じることを示す。
• 非埋め込み性を決定する次元条件(r−1)(d+s+1)+1 = m₁+…+mₛを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割数π(K)は、削除ジョインK^{*r}_ΔのG-equivariant位相的複雑さとどのように関係するか？
• RQ2 r-避けられない複体のジョインがR^dにおいていつほぼr-非埋め込み可能になるか？
• RQ3 Tverberg-Van Kampen-Flores型定理の制約法を、r-避けられない複体を用いて体系的に一般化できるか？
• RQ4 しきい値複体は、r-避けられない複体およびほぼr-非埋め込み可能配置の生成に果たす役割は何か？
• RQ5 ゲーム理論と組合せ位相論の結果は、r-避けられない複体の文脈でどのように統合されるか？

主な発見

• 定理4.6により、K₁,…,Kₛがすべてr-避けられるとき、それらのジョインK = K₁ * … * Kₛは、(r−1)(d+s+1)+1 = m₁+…+mₛを満たすdにおいてR^dにおいてほぼr-非埋め込み可能であることが保証される。
• r = p^kのとき、G = (Z_p)^kでmが頂点数であるとすると、Ind_G(K^{*r}_Δ) ≥ m − π(K)が成り立つ。
• 複体[5]∗[5]∗[5]はR³においてほぼ3-非埋め込み可能であり、3色星構成の彩色Tverberg定理を実現する。
• w(X) ≤ w([n])/rを満たすしきい値複体はr-避けられるため、r-避けられる複体を構成的に生成する方法が得られる。
• この手法により、Grünbaum、Schild、およびBlagojević–Frick–Zieglerの結果を拡張する、ほぼr-非埋め込み可能複体の新しい例が生成される。
• この枠組みにより、Tverberg型定理、位相的インデックス理論、および協力的ゲーム理論がr-避けられる複体の観点から統合される。