[論文レビュー] Torsion and Problems of Standard Cosmology

M. I. Wanas, H. A. Hassan|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標準的なリーマン幾何学ではなく、絶対平行性（AP）幾何学の枠組みにおいてねじれを組み込むことで、フレリッドマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）宇宙論における特異点や粒子視界といった主要な問題が解決可能であると提唱している。一般相対性理論を均一的かつ等方的構造を持つAP幾何学に再定式化することで、著者らはねじれが外部仮定なしに自然に加速膨張やファントム的挙動を生じさせることを示しており、物質とエネルギーがねじれそのものから生じる純粋な幾何学的理論として一般相対性理論を再構築している。

ABSTRACT

The field equation of orthodox general relativity are written in the context of a geometry with non-vanishing torsion, the Absolute Parallelism (AP) geometry. An AP-structure, with homogeneity and isotropy, is used for cosmological applications. The resulting dynamical equations are those of FRW-Standard cosmology, which have many problems e.g. singularity, particle horizons, ...etc. We suggest a new scheme for investigating the effect of torsion on the dynamics of FRW-Cosmology, without changing the basic structure of general relativity. It is shown that some of these problems will disappear if the torsion, associated with AP-structure used, is inserted in to the dynamical equations. Diagnose shows that problems arise when GR is written in the context of a geometry with vanishing torsion, the Riemannian geometry. This reflects the importance of using more wider geometries in studying physical phenomena.

研究の動機と目的

• 絶対平行性（AP）幾何学における非ゼロのねじれが、特異点や粒子視界といった標準的FRW宇宙論の長年の問題を解決できるかどうかを調査すること。
• 一般相対性理論をAP幾何学に再定式化しつつもその力学的構造を保ち、ねじれそのものが宇宙論的力学を生成できるかどうかを検証すること。
• 物質とエネルギーがねじれの幾何学的表現として記述可能かどうかを検討し、一般相対性理論を物質がねじれから生じる純粋な幾何学的理論として再構築すること。
• インフレーション的挙動や負の圧力が、ラグランジアンやポテンシャルエネルギーの優位性、外部場を仮定せず、ねじれから自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 一般相対性理論の場の運動方程式を、非ゼロのねじれと非対称な接続を持つ絶対平行性（AP）幾何学の文脈に再定式化する。
• 均一的かつ等方的構造を持つAP構造を導入し、四元ベクトル場 $\lambda^\mu_i$ によって定義する。ここで $\lambda^\mu_i \lambda^i_\nu = \delta^\mu_\nu$ および $\lambda^\mu_i \lambda^j_\mu = \delta^j_i$ を満たす。
• 計量テンソル $g_{\mu\nu} = \lambda_i^\mu \lambda^i_\nu$ を四元ベクトルから導出し、非対称接続 $\Gamma^\alpha_{\mu\nu} = \lambda^\alpha_i \partial_\nu \lambda^i_\mu$ を用いて、ねじれは $\Lambda^\alpha_{\mu\nu} = \Gamma^\alpha_{\mu\nu} - \Gamma^\alpha_{\nu\mu}$ で生成される。
• 得られた力学的方程式は、ねじれを無視した場合には標準的FRW方程式に還元されるが、ねじれがエネルギー運動量保存則および宇宙論的進化方程式を変更することが示された。
• ねじれを含む修正FRW方程式を解析し、特にねじれが負の圧力と加速膨張を可能にする役割に注目した。
• 物質量エネルギーテンソル $T_{\mu\nu}$ はねじれ場から生じるものとして再解釈され、ねじれそのものがエネルギーと圧力の源として機能することが示唆された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AP幾何学におけるねじれは、標準的FRW宇宙論における特異点問題や粒子視界問題を解消できるか？
• RQ2 一般相対性理論の場の運動方程式に非ゼロのねじれを組み込むと、膨張宇宙の力学にどのような影響を与えるか？
• RQ3 宇宙の加速膨張は、ディラック定数やダークエネルギーを導入せず、ねじれのみで説明可能か？
• RQ4 物質とエネルギーが、純粋な幾何学的理論としてねじれの現れ方として幾何学的に記述できる範囲はどの程度か？
• RQ5 ねじれは、宇宙論的モデルにおけるエネルギー保存則にどのように寄与するか？

主な発見

• AP幾何学における修正FRW方程式の解は特異点を示さず、粒子視界も存在しないため、標準宇宙論の二大問題が解決された。
• ねじれは式（30）によってハッブル定数と直接関連しており、膨張速度とねじれの間の根本的な幾何学的関係が示された。
• ラグランジアンやポテンシャルエネルギーの優位性、最小結合、外部場を仮定せず、ねじれから負の圧力と加速膨張が自然に生じることが確認された。
• 保存則式（26）から $\dot{\rho}_{\mathcal{T}} = 0$ が $w = -1$ のとき得られ、これは宇宙が膨張する中でもエネルギー密度が一定であることを示唆しており、ねじれエネルギーを保存則に含める必要があることを示している。
• 物質量エネルギーテンソル $T_{\mu\nu}$ はねじれ場から幾何学的に構成可能であり、一般相対性理論が物質がねじれから生じる純粋な幾何学的理論として解釈可能であることを示している。
• スカラー場や外部ポテンシャルを導入せずともインフレーション的ダイナミクスを達成しており、ねじれが初期宇宙の加速の幾何学的起源である可能性を示唆している。