[論文レビュー] Tracially Z-absorbing C*-algebras

Ilan Hirshberg, Joav Orovitz|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、c.p.c. 0次元写像の補集合におけるCuntz劣等価性を用いて射影に基づく条件を置き換えることで、𝒵-吸収のトレース的バージョンであるtracially 𝒵-absorbing C*-代数を導入する。このような代数はほとんど未穿過なCuntz半群を有し、単純で、単位元をもち、可分で、核となるC*-代数に対しては、トレース的𝒵-吸収が完全な𝒵-吸収を意味することを証明する。さらに、有限群作用による交叉積において、トレース的𝒵-吸収が保存され、一般化されたトレース的Rokhlin性質を満たす特定の自己同型に対しても同様の保存性が成り立つことを示す。

ABSTRACT

We study a tracial notion of Z-absorption for simple, unital C*-algebras. We show that if A is a C*-algebra for which this property holds then A has almost unperforated Cuntz semigroup, and if in addition A is nuclear and separable we show this property is equivalent to having A being Z-absorbing. We furthermore show that this property is preserved under forming certain crossed products by actions satisfying a tracial Rokhlin type property.

研究の動機と目的

• 単純で、単位元をもち、可分なC*-代数に対する𝒵-吸収のトレース的概念を定義・研究すること。これは、Winterの研究およびMatui-Satoの𝒵-吸収と有限核次元に関する研究における技術的要請に由来する。
• トレース的𝒵-吸収性を有するC*-代数がほとんど未穿過なCuntz半群を有することを示し、Rørdamの𝒵-吸収に関する結果を一般化する。
• 単純で、単位元をもち、可分で、核となるC*-代数に対して、トレース的𝒵-吸収性が完全な𝒵-吸収を意味することを証明する。
• 有限群作用に対して、射影を含まないトレース的Rokhlin性質を定義し、このような作用による交叉積においてトレース的𝒵-吸収性が保存されることを示す。
• 整数作用（自己同型）に対し、この保存性の結果を拡張する。ただし、自己同型のあるべき乗がトレース状態空間上で自明に作用するという条件を課す。

提案手法

• 任意の有限集合F、ε > 0、非ゼロの正のa ∈ A、およびn ∈ ℕに対し、c.p.c. 0次元写像φ: M_n → A が存在し、1 - φ(1) ≼ a かつFの元とφがε近似で可換になるように、トレース的𝒵-吸収性を定義する。
• 射影を避けるために、Rokhlin型条件における射影の代わりにCuntz劣等価性（≼）を用いることで、Rokhlin性質の一般化を実現する。
• Rokhlin型条件を満たす有限集合の要素e_iから、区分的線形スケーリングを用いて、normと交差項の推定値を制御する修正要素f_iを構成する。
• 0次元写像の射影性を活用し、A_∞ への写像ψ̂: M_n → A_∞ を、A へのc.p.c. 0次元写像の列に引き上げることで、必要な近似性質を保証する。
• MatuiとSatoの技術を応用し、Cuntz半群における厳密比較とほとんど未穿過性が、核的で、可分で、単純な場合に完全な𝒵-吸収を意味することを示す。
• α^m がT(A)上で自明に作用するならば、A ⋊_α ℤ がトレース的𝒵-吸収性を保つことを示す。この際、自己同型に対して一般化されたトレース的Rokhlin性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純で、単位元をもち、可分なC*-代数において、トレース的𝒵-吸収性はCuntz半群のほとんど未穿過性を意味するか？
• RQ2 単純で、単位元をもち、可分で、核となるC*-代数に対して、トレース的𝒵-吸収性は完全な𝒵-吸収性と同値か？
• RQ3 有限群作用がトレース的Rokhlin型条件を満たすが射影を含まない場合、トレース的𝒵-吸収性は交叉積において保存されるか？
• RQ4 自己同型が一般化されたトレース的Rokhlin性質を満たし、かつあるべき乗がT(A)上で自明に作用する場合、交叉積においてトレース的𝒵-吸収性は保存されるか？
• RQ5 トレース的𝒵-吸収性の交叉積における保存性において、α^m がT(A)上で自明に作用するという仮定を弱めることができるか？

主な発見

• トレース的𝒵-吸収性を有するC*-代数は、ほとんど未穿過なCuntz半群を有し、これは正の元の厳密比較を意味する。
• 単純で、単位元をもち、可分で、核となるC*-代数に対して、トレース的𝒵-吸収性は完全な𝒵-吸収性を意味する。すなわち、A ≅ A ⊗ 𝒵 が成り立つ。
• 有限群作用に対して一般化されたトレース的Rokhlin性質を満たす場合、交叉積においてトレース的𝒵-吸収性が保存される。射影が存在しなくても成立する。
• 一般化されたトレース的Rokhlin性質を満たし、かつあるべき乗がT(A)上で自明に作用する自己同型αに対して、交叉積A ⋊_α ℤ はトレース的𝒵-吸収性を保つ。
• α^m がT(A)上で自明に作用するという条件は、たとえばαのあるべき乗が近似的に内因的である場合、またはT(A)が有限個の極値点を持つ場合に自動的に満たされる。