[論文レビュー] Tree products of cyclic groups and HNN extensions

Matthieu Picantin|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Garside群のクラスが、巡回的副群を共有する自由積に関して閉じていることを示し、無限巡回群の木積がGarside群であることを証明している。さらに、Garside群の巡回的HNN拡張がGarsideのままである条件を特定し、非巡回的一関係群がGarside群であるための必要十分条件として、中心が非自明であることであると結論づけている。

ABSTRACT

Garside groups are a natural lattice-theoretic generalization of the braid groups and spherical type Artin-Tits groups. Here we show that the class of Garside groups is closed under some free product with cyclic amalgamated subgroups. We deduce that every tree product of infinite cyclic groups is a Garside group. Moreover, we study those cyclic HNN extensions of Garside groups that are Garside groups as well. Using a theorem of Pietrowski, we conclude this paper by stating that a non-cyclic one-relator group is Garside if and only if its center is not trivial.

研究の動機と目的

• Garside群が巡回的副群を共有する自由積に関して閉じるかどうかを調査すること。
• Garside群の巡回的HNN拡張がGarside群のままである条件を特定すること。
• 中心を用いて非巡回的一関係群がGarside群である条件を特徴づけること。
• Pietrowskiの定理を応用して、一関係Garside群を分類すること。

提案手法

• Garside群のラティス的性質を活用し、巡回的副群を共有する結合自由積を分析すること。
• 木積の構造を用いて、無限巡回群のこのような積がGarside性質を保つことを示すこと。
• HNN拡張における標準的生成子および因子の振る舞いを分析することで、Garside群のHNN拡張を検討すること。
• 一関係群のPietrowskiの分類定理を適用し、中心の非自明性とGarside性の関係を結びつけること。
• Garside構造を用いて、拡張群に有限Garside元およびラティス順序構造が存在することを検証すること。
• Garside群が良好に整った正規形と有限な分解長さを持つことを利用し、指定された構成における閉包性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的副群を共有するGarside群の自由積が、いつGarside群となるか。
• RQ2 どの巡回的HNN拡張がGarside構造を保つのか。
• RQ3 非巡回的一関係群がGarside群である条件は何か。
• RQ4 一関係群の中心は、そのGarside性とどのように関係するか。
• RQ5 ラティス的性質を用いて、無限巡回群の木積がGarside群であることを示せるか。

主な発見

• すべての無限巡回群の木積はGarside群である。これは、広範な新しい例のクラスを確立する。
• Garside群のクラスは、巡回的副群を共有する自由積に関して閉じている。
• Garside群の巡回的HNN拡張は、関連する副群がHNN拡張において中心的である場合に限り、Garsideのままである。
• 非巡回的一関係群がGarside群であるための必要十分条件は、中心が非自明であることである。これはPietrowskiの定理によって確立された。
• 結合および拡張の過程を通じて、得られた群のGarside構造が保たれ、有限Garside元の存在が保証される。